文章目录
壹. 重要定理
一. 相关概念
1. 伴随矩阵
2. 初等变换与等价
等价：经过有限次初等变换。
初等变换：左乘与右乘
3. 正交矩阵
二. 主要定理
求逆矩阵的工作量少一半
三. 主要公式
贰. 典型例题
1. 矩阵运算
注意：
题型一. 列向量的乘积
设矩阵，运算观察。
或直接对角线元素相加。
题型二：矩阵的n次方
直接乘。
整理等式，计算。n次方的化简。
2. 特殊矩阵
题型一：伴随矩阵的求法
AB看成整体，
C
C
∗
=
∣
C
∣
E
CC^{*}=|C|E
CC∗=∣C∣E。等式左边
C
∗
C^{*}
C∗，利用
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
(AB)−1=B−1A−1。
题型二. 可逆矩阵
- 矩阵相乘，提出A+E
- 逆的特性。
凑E+B。
题型三. 正交矩阵
利用正交公式
A
A
T
=
E
AA^T=E
AAT=E。先化简然后再观察求解。
都不是正交矩阵。
从定义出发： A ∗ ( A ∗ ) T A^*{(A^*)}^T A∗(A∗)T，利用正交矩阵特性。
题型四：行最简矩阵
3. 初等变换(左乘行变换，右乘列变换)
以行为单位进行变换，第二行[0 1 2]的情况：没有第一行+第二行+二倍第三行。
或两次变换放到一个矩阵中。
两个变换+逆乘。
由伴随+变换得AC的关系，约掉AC，求P。
由秩判断。等价秩相等。
4. 分块矩阵
对于一般的矩阵，拆成A+E(注意：也得是合适的形式，不是所有的矩阵都可以。)
对于秩=1的矩阵，化成列乘行矩阵的式子，以最小公约矩阵为基础（A）（为左），右乘行矩阵（每列对A的变化）。
错，again。
矩阵不可逆的题型
注意：A不可逆。
ing
B，
C
B
−
1
=
A
CB^{-1}=A
CB−1=A ，C右乘矩阵进行列变换，所以列向量等价。
5. 矩阵秩的计算
一个未知数需要一个条件（秩=2，行列式=0）即可
判断A的秩，由r(A(E+B))=2，E+B=3满秩，所以r(A)=2。
直接初等行变换，进行分类讨论。
6. 矩阵方程：矩阵方程的运算
就像 [ A ∣ E ] − > [ E ∣ A − 1 ] [A|E] -> [E|A^{-1}] [A∣E]−>[E∣A−1]。
B，
化成(A - B)X(A + B) = E，因为R(E)=3，所以左式的秩都等于3。所以都可逆。
注意公式：
