废话

一点废话，这篇讲解是我看电子科大数据结构与算法MOOC做的笔记。

递归

递归定义

递归指子程序（或函数）直接或间接调用自己，递归的基本思想是问题分解

def A():#递归直接调用
	A()

def A():#递归间接调用
	B()
def B():
	A()

递归要素

递归边界条件：确定递归何时终止，也称为递归出口
递归模式：大问题是如何分解成小问题的，也称为递归体

递归应用

递归实现阶乘

def factorial(n):
	if n==0:
		return 1
	return n*factorial(n-1)

递归实现斐波那契数列

斐波那契数列通项公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)，当n足够大时，f(n-1)/f(n)趋向于黄金分割比0.618。

def fibonacci(n):
	if n<=1:#递归出口
		return n
	return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)#递归体/递归内容

递归实现

效率低可读性高
函数调用是通过栈来实现返回地址和参数传递的，递归涉及反复的函数调用，运行效率低但函数可读性好
尾递归
递归关系仅存在于return之后的递归叫做尾递归
循环或栈实现
尾递归可以通过循环实现，其他递归可以用栈来实现

分治递归

分治递归定义

分治递归，即将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题，直到问题规模足够小，能轻易求出解；再将小规模问题的解合并为一个更大规模问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。

分治递归的使用条件

在这里插入图片描述

分治法的基本步骤

在这里插入图片描述

递归式复杂度计算

代换法

忽略技术细节
有效利用代换法要求先忽略技术细节，比如递归式T(n)=2T(n/2)+O(n)中，应忽略n、n/2可能取非整数的情况，也忽略当n足够小时复杂度趋向O(1)的情况。
代换法主要思想
（1）猜测解的形式
（2）通过数学归纳法找出使解真正有效的常数

迭代法

思想
迭代法的思想是模拟该递归关系执行过程，从而计算算法运行时间
分类
迭代法又分为代数法（直接展开法）和几何法（递归树法）

直接展开法

方法：展开递归关系式并将该展开的递归关系式表达成仅依赖于n和初始条件的各项之和的形式。

递归树法

主方法

在这里插入图片描述

递归实例

打印整数全排列

#输入正整数n，对[1,n]进行全排列并打印所有结果
#递归实例1
def PrintPermutation(a,k,n):
    if k==n:#递归边界条件
        s=''
        for j in a:
            s+=str(j)#输出字符串
        print('全排列结果为：',s)
        return
    else:
        for i in range(k,n):#递归模式/递归体
            a[i],a[k]=a[k],a[i]#循环中将第一个数的值与列表所有值交换
            PrintPermutation(a,k+1,n)#调用递归函数，对k之后所有元素进行上述操作
            a[i],a[k]=a[k],a[i]#保持数组值不变，继续下次循环
n=int(input('输入n的值：'))
a=[]
for i in range(1,n+1):
    a.append(i)
PrintPermutation(a,0,n)