引言

本文主要介绍策略梯度算法的一种改进——带基线的策略梯度算法(Reinforce with baseline)。通过引入基线，有效降低了学习过程中的方差，从而提升训练过程的稳定性。

1 基线

基线函数 B(s) 可以是任意随机函数或确定函数，它可以与状态有关，但是不能和动作有关。满足这样的条件后，基线函数自然满足

证明：

由于 B(s) 和动作无关，所以

$\sum_{a}^{}B\left ( S_{t} \right )\triangledown \pi _{\theta }(a\mid S_{t})=B\left ( S_{t} \right )\triangledown \sum_{a}^{}\pi _{\theta }(a\mid S_{t})=B\left ( S_{t} \right )\triangledown 1=0$

进而

$E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]$

得证。

2 如何选择基线

选择基线时，应当参照一下两个思想：

一个能有效降低方差的基线是状态价值函数的估计，如Reinfoece_with_baseline算法所示。

3 Reinfoece_with_baseline算法伪代码

4 最佳基线的确定

接下来，我们来分析什么样的基线函数能最大程度地减小方差。根据方差与期望之间的联系：

$E\left [\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right ) \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]-\left [ E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right ) \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]\right ]^{2}$

上式关于 $B\left ( S_{t} \right )$ 求偏导，得到

$E\left [ -2\gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]$

其中求导时存在，

令上面求得的偏导数为0，并假设 $B\left ( S_{t} \right )$ 与 $\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2}$ 相互独立

$E\left [B\left ( S_{t} \right )\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]=E\left [ B\left ( S_{t} \right )\right ]E\left [\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]$

可知

这意味着，最佳的基线函数应当接近回报 $G_{t}$ 以梯度 $\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2}$ 为权重加权平均的结果。不过，由于梯度 $\triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right )$ 并不会预先知道，所以实际应用时无法使用这样的基线函数。