Monte Carlo Algorithms

1.计算Pi

我们采用随机数生成器近似

假设平面上点

可以知道在园内的概率

由大数定律可知，当样本足够大时，满足条件的点

因此

我们可以求出误差界限在，说明当越大时，该方法求解的值会越近似

总结

2.布封头针问题

该问题同样用来近似。

随机在画有平行线的平面抛掷长为的头针，与平行线相交的概率

总结

头针问题的误差同样是，可以看到Lazzerini精确到小数点后七位，与时的误差不符，说明可能存在作假。

3.阴影面积计算

计算灰色区域面积。

可以分别判断点是否在扇形或者圆内。

通过1，2两个不等式便可以确定点是否在阴影内。

我们可以知道点落在阴影内的概率为：

总结

4.定积分

对于不可积的函数，我们可采用蒙特卡洛近似该区间的积分。

随机抽样个点从区间中。

等区间长度乘上个点的均值。

根据大数定律，当，

实例

多维函数的积分

在空间下对多维x积分。

等于空间的体积乘上均值。

从另一个角度解释的近似。

5.求期望

按照概率密度函数随机抽样个样本，然后求均值可以近似期望

6.蒙特卡洛算法的背景

由叫Nicholas Metropolis的第一次提出。

蒙特卡洛是一个赌城之都。

上面的拉斯维加斯等算法都是以赌场之都命名。