bzoj2005 [Noi2010]能量采集-CFANZ编程社区

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Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列
有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，
表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了
一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20
棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能
量损失。
Input
仅包含一行，为两个整数n和m。

Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input
【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output
【样例输出1】

【样例输出2】

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
观察到因为这是一个每个点长宽都为单位1的矩形所以可以知道一个点的答案就是
2∗gcd(i,j)−1 2 ∗ g c d ( i , j ) − 1
所以答案显然是∑i=1n∑i=1m2∗gcd(i,j)−1 ∑ i = 1 n ∑ i = 1 m 2 ∗ g c d ( i , j ) − 1 将这个-1提取出来变成n*m
原始式子可以写成∑d=1nd∑d′=1nd∑i=1ndd′∑j=1ndd′1 ∑ d = 1 n d ∑ d ′ = 1 n d ∑ i = 1 n d d ′ ∑ j = 1 n d d ′ 1
于是直接利用技巧分块+预处理前缀和求解即可请各位大佬看一下莫比乌斯的常见的套路还有狄利克雷卷积的一些知识qwq

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 110000
#define ll long long
#define rg register
using namespace std;
int mu[N],prime[N],tot,n,m;
bool not_prime[N];
int main(){
    //freopen("bzoj2005.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);int mx=max(n,m);mu[1]=1;
    for (rg int i=2;i<=mx;++i){
        if (!not_prime[i]) mu[i]=-1,prime[++tot]=i;
        for (rg int j=1;prime[j]*i<=mx;++j){
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }ll ans=0;int last=1;int mn=min(m,n);
    for (rg int i=1;i<=mx;++i) mu[i]+=mu[i-1];
    //for (rg int i=1;i<=mx;++i) printf("%d,mu[i]);puts("");
    for (rg int i=1;i<=mn;++i){
        ll tmp=0;
        for (rg int j=1;j<=mn/i;j=last+1){
            last=min((m/i)/(m/(j*i)),(n/i)/(n/(j*i)));
            tmp+=(ll)(m/(j*i))*(n/(j*i))*(mu[last]-mu[j-1]);//printf("%lld\n",ans);
        }ans+=i*tmp<<1;
    }ans-=(ll)n*m;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}