文章目录

• 启发
• 数学模型
• • 滚球
  • 跳舞
  • 繁殖
  • 觅食
  • 偷窃
  • 伪代码

启发

  蜣螂，又称屎壳郎，以动物的粪便为食（口味很独特啊）。众所周知，屎壳郎有一个有趣的习惯，就是把粪便揉成球，滚动到可靠的地方藏起来（挺护食），然后再慢慢吃掉。

  蜣螂可以滚一个比自身大得多的粪球，并且可以利用天体的线索(特别是太阳、月亮和偏振光)来导航，使粪球沿直线滚动；然而，如果完全没有光源(也就是说，完全黑暗)，蜣螂的路径就不再是直线，而是弯曲的，有时甚至略圆。许多自然因素(如风和不平坦的地面)会导致蜣螂偏离原来的方向。此外，蜣螂在滚动过程中很可能会遇到障碍物，无法前进。为此，蜣螂通常会爬到粪球上面跳舞(包括一系列的旋转和停顿)，这决定了它们的运动方向。

  从蜣螂的生活方式中可以观察到获得粪球有以下两个主要目的：（1）有些粪球是用来产卵和养育下一代的；（2）其余的则用作食物。具体来说，蜣螂把粪球埋起来，雌性蜣螂在粪球里产卵。需要注意的是，粪球不仅是幼虫的生长场所，而且为幼虫提供了生存所必需的食物。因此，粪球对蜣螂的生存起着不可替代的作用。

  研究学者主要就是基于蜣螂以上生活习性，受其滚球、跳舞、觅食、偷窃和繁殖行为的启发，而提出了蜣螂优化算法，进行全局搜索和局部利用。

数学模型

滚球

  根据上面的描述，我们知道蜣螂在滚动过程中需要通过天体线索来导航，以保持粪球在直线上滚动。为了模拟滚动球的行为，需要蜣螂在整个搜索空间中沿着给定的方向移动。如下图所示，可以看出，蜣螂利用太阳导航，红色箭头表示滚动方向。

  文章中，作者假定光源强度也会影响蜣螂路径。在滚动过程中，按照如下对滚球屎壳郎的位置进行更新：

$$\begin{array}{rl}{x}_i(t+1)& =x_i(t)+\alpha \times k\times x_i(t-1)+b\times \Delta x,\\ \Delta x& =\left|x_i(t)-X^w\right|\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中$t$表示当前迭代次数，$x_i(t)$表示第$t$次迭代时第$i$只蜣螂的位置信息，$k\in (0,0.2]$是一个常量表示偏转系数，$b\in （0,1）$，$\alpha$是自然系数取1或-1，$X^w$是全局最差位置，$\Delta x$模拟光强的变化。

跳舞

  当蜣螂遇到障碍物而无法前进时，它会通过跳舞来重新定向自己，以获得新的路线。

  为了模拟舞蹈行为，作者使用正切函数（只考虑$[0,\pi ]区间内的值$）得到新的滚动方向。 一旦蜣螂成功地确定了一个新的方向，它应该继续向后滚动球。因此，蜣螂的位置按如下更新：

$$x_i(t+1)=x_i(t)+\tan (\theta )\left|x_i(t)-x_i(t-1)\right|\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$\theta$是偏转角$\in [0,\pi ]$。

繁殖

  在自然界中，粪球被蜣螂滚到安全的地方并藏起来(见图4)。

  为了给它们的后代提供一个安全的环境，选择合适的产卵地点对蜣螂来说至关重要。受上述讨论的启发，作者提出了一种边界选择策略来模拟雌性蜣螂产卵的区域，定义如下：
$$\begin{array}{rl}& L{b}^{\ast }=\max \left(X^{\ast }\times (1-R),Lb\right),\\ & U{b}^{\ast }=\min \left(X^{\ast }\times (1+R),Ub\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$X^{\ast }$表示当前局部最优位置，$L{b}^{\ast }$和$U{b}^{\ast }$分别表示产卵区域的下界和上界，$R=1-t/T_{\max }$，$T_{\max }$表示最大迭代次数，$Lb$和$Ub$分别表示优化问题的下界和上界。

  如下图所示，当前最优位置$X^{\ast }$通过棕色圆表示，其周围的黑色小圆表示卵球，每个卵球里都包含蜣螂的卵。

  一旦确定了产卵区域，雌性蜣螂就会选择这个区域的卵球产卵，在算法中，假设每个雌蜣螂在每次迭代中只会下一个卵。并且从式（3中）可以清楚地看到，产卵区域的边界范围是随$R$值动态变化的，因此卵球的位置在迭代过程中也是动态变化的，定义如下：

$$B_i(t+1)=X^{\ast }+b_1\times \left(B_i(t)-L{b}^{\ast }\right)+b_2\times \left(B_i(t)-U{b}^{\ast }\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$B_i(t)$是第$i$个卵球在第$t$次迭代的位置信息，$b_1$和$b_2$是两个独立的大小为$1\times D$的随机向量，$D$是优化问题的维度。注意，卵球是严格限制在产卵区域的。

觅食

  一些成年屎壳郎会从地下钻出来寻找食物，如下图。

  作者将其称为小蜣螂，并模拟了蜣螂的觅食过程，最优觅食区域的边界如下：

$$\begin{array}{rl}& L{b}^b=\max \left(X^b\times (1-R),Lb\right)\\ & U{b}^b=\min \left(X^b\times (1+R),Ub\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中$X^b$表示全局最优位置，$L{b}^b$和$ U b^b$分别表示最佳觅食区域的下界和上界。因此，小蜣螂的位置更新如下：
$$x_i(t+1)=x_i(t)+C_1\times \left(x_i(t)-L{b}^b\right)+C_2\times \left(x_i(t)-U{b}^b\right)\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中$x_i(t)$表示第$i$个小蜣螂第$t$次迭代的位置信息，$C_1$表示服从正态分布的随机数，$C_2$是$(0,1)$范围内的随机向量。

偷窃

  有一些蜣螂，被称为小偷，会从其他蜣螂那里偷粪球，如下图。

  从式（5）中可以看出$X^b$是最优食物源，因此可以假设$X^b$周围是竞争食物的最优位置。迭代过程中，小偷的位置信息按如下更新：
$$x_i(t+1)=X^b+S\times g\times \left(\left|x_i(t)-X^{\ast }\right|+\left|x_i(t)-X^b\right|\right)$$
  其中$x_i(t)$表示第$i$个小偷第$t$次迭代的位置信息，$g$是大小为$1\times D$的服从正态分布的随机向量，$S$是常量。

伪代码

  基于以上讨论，蜣螂优化算法伪代码如下：

  首先，令$T_{max}$为最大迭代次数，$N$为种群大小。

  然后，随机初始化所有代理，按照下图所示的方式分布设置。

  之后，根据不同类型的代理，选择合适的方式更新滚球蜣螂、卵球、小蜣螂和小偷的位置。

  最后，输出最优位置$X^b$及其适应度值。