积分基本定理的几何说明-CFANZ编程社区

对于微积分的核心概念，个人认为有一句话描述的非常到位，＂导数是变化的原因，积分是变化的结果＂！

书上对微积分基本定理的描述以及证明如下：

设

积分基本定理的几何说明_定义域

在闭区间

积分基本定理的几何说明_定义域_02

上连续，

积分基本定理的几何说明_数形结合_03

是

积分基本定理的几何说明_定义域

在

积分基本定理的几何说明_定义域_02

上的一个原函数，则：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

给出的证明过程是：

因

积分基本定理的几何说明_数形结合_03

与

$\int_{a}^ {x}f(x)dx$

均是

积分基本定理的几何说明_定义域

在

积分基本定理的几何说明_定义域_02

上的原函数，只能相差一个常数，即:

$\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+C$

让

积分基本定理的几何说明_数形结合_12

$\int_{a}^{a}f(t)dt=F(a)+C=0$

所以

积分基本定理的几何说明_数形结合_14

则:

$\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$

令

积分基本定理的几何说明_定义域_16

$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$

得证。

这个证明比较突兀，尤其是

$\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+C$

，一笔带过，很是气人，究竟为什么函数的积分和它的原函数之间有此种联系呢？并未说明，下面用数形结合的方式尝试说明这个问题。

首先，插入一个只要介绍微积分必会用来做例子的经典题目，求方程

积分基本定理的几何说明_数形结合_19

在闭区间

积分基本定理的几何说明_数形结合_20

上的面积。

积分基本定理的几何说明_定义域_21

经典做法是，上图绘制每个区域都选择这个区域的最大速度，这种取法叫做上和，还也可以取下和，就是每个区的最小速度，甚至是中和，都没有关系，根据夹逼定理，无论哪种取法，当n趋进于

$\infty$

时都是一样的，将区间

积分基本定理的几何说明_数形结合_20

平均分成n等份，每一份的长度是

积分基本定理的几何说明_数形结合_24

,那么面积S等于：

$S=\frac{1}{n}*(\frac{1}{n})^2+\frac{1}{n}*(\frac{2}{n})^2+\cdots+\frac{1}{n}*(\frac{n}{n})^2=\frac{1}{n}(\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^2})$

这个和有一个专门的名字，叫做黎曼和，它的通用形式是:

$\sum_{j=1}^{n}f(c_j)(x_j-x_{j-1})$

这里

$x_j-x_{j-1}=\frac{1}{n}$

其中根据平方和公式：

$1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

所以

$\\ S=\frac{1}{n}*(\frac{1}{n})^2+\frac{1}{n}*(\frac{2}{n})^2+\cdots+\frac{1}{n}*(\frac{n}{n})^2=\frac{1}{n}(\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^2}) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\\ \\ \\ \lim_{n->\infty }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\lim_{n->\infty }\frac{2n^3}{6n^3}=1/3$

这个结果和通过微积分基本定理得到的结果是一致的。

接下来我们用上图一样的原来来证明微积分基本定理：

第一步，联接函数图形上n个分点相邻点，我们可以用这条线段的斜率作为导函数的近似。

积分基本定理的几何说明_数形结合_30

设从原点开始的每个线段的为

$l_1 \quad l_2\quad l_3 \quad \cdots \quad \l_n$

则

$f(l_1) = \frac{F(\frac{1}{n})-F(0)}{\frac{1}{n}}$

$f(l_2) = \frac{F(\frac{2}{n})-F(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$

$f(l_3) = \frac{F(\frac{3}{n})-F(\frac{2}{n})}{\frac{1}{n}}$

$\vdots$

$f(l_n) = \frac{F(\frac{n}{n})-F(\frac{n-1}{n})}{\frac{1}{n}}$

那么,由于

$\int_{0}^{1}f(t)dt$

可以表示成函数曲线和坐标轴以及定义域围城的图形的面积，也就是：

$\\ \int_{0}^{1}f(t)dt=\lim_{n->\infty }(\frac{1}{n}*f(l_1)+\frac{1}{n}*f(l_2)+\cdots+\frac{1}{n}*f(l_n))=\\ \\\lim_{n->\infty }( \frac{1}{n}(f(l_1)+f(l_2)+\cdots+f(l_n)))=\\ \\ \lim_{n->\infty }(\frac{1}{n}( \frac{F(\frac{1}{n})-F(0)}{\frac{1}{n}} + \frac{F(\frac{2}{n})-F(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} +\cdots+ \frac{F(\frac{n}{n})-F(\frac{n-1}{n})}{\frac{1}{n}}))=\\ F(\frac{1}{n})-F(0) + F(\frac{2}{n})-F(\frac{1}{n}) + \cdots + F(\frac{n}{n})-F(\frac{n-1}{n}) = \\ F(\frac{n}{n})-F(0)=F(1)-F(0)=1/3-0=1/3$

我们也可以进行一下代数推导，如下图所示:

积分基本定理的几何说明_数形结合_44

＇

设:

$\\G(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$

积分基本定理的几何说明_数形结合_46 0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}" title="\\G'(x)=\frac{d}{dx} \int_{a}^{x}{f(t)dt}=\lim_{h->0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}" style="width: 364px; visibility: visible;" data-type="block">

其中:

积分基本定理的几何说明_定义域_47

就是上图中阴影部分的面积（包括顶部弯的部分).

当h很小的时候，可以用阴影矩形区域替代．

所以

积分基本定理的几何说明_数形结合_48

是f(x)的原函数．

得证！