状态观测控制器设计与仿真验证-CFANZ编程社区

状态观测器的提出
状态观测器定义
状态观测器的设计原理
状态观测器的设计
状态观测器的仿真验证

状态观测器的提出

并不是所有系统的状态变量都是很容易能直接检测得到的，大多系统的状态变量都是不容易直接检测到的，有些状态变量甚至根本无法检测。这样，就提出了所谓的状态观测和状态重构问题，由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论，所以也叫Luenberger观测器。通过系统的输入和输出来估计状态，从而解决了在确定性条件下受控系统的重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制率。

状态观测器定义

设线性定常系统 $\sum =(A,B,C)$ 的状态矢量x不能直接检测。如果动态系统 $\hat{\sum }$ 以 $\sum$ 的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量 $\hat{x}$ 渐近于x，即 $\lim\limits_{t\to+\infty} |x-\hat{x}|=0$ ，则称 $\hat{\sum }$ 为 $\sum$ 的一个状态观测器。

根据状态观测器的的定义，我们可以知道构造观测器的原则是：

(1)观测器 $\hat{\sum }$ 应以观测器 $\hat{\sum }$ 的输入u和输出y作为输入量。

(2)为了满足 $\lim\limits_{t\to+\infty} |x-\hat{x}|=0$ ， $\hat{\sum }$ 必须完全能观，或其不能观子系统是渐进稳定的。

(3) $\hat{\sum }$ 的输出 $\hat{x}$ 应以足够的速度渐进与x,即 $\hat{\sum }$ 应有足够宽的频带。但从抑制干扰角度看，又希望频带不要太宽。因此，要根据具体情况予以兼顾。

(4) $\hat{\sum }$ 在结构上要尽量简单。即具有尽可能低的维数，以便于物理实现。

状态观测器的设计原理

给出单输入单输出系统如下，假设给出的系统是能观( $rank(C,CA,...,CA^{n-1})^T)=n$ )的,如果不能观，我们设计降阶观测器，观测他一部分状态。

$\begin{cases}\dot{x}=Ax+Bu\\ y = Cx \end{cases}$

根据观测器的设计原则，闭环观测器的的状态方程设计如下：

$\dot{\hat{x}} = A\dot{x}+Bu+G(y-C\hat{x})$

我们可以很容易知道闭环观测器的误差状态

$\begin{cases} e = x-\hat{x}\\ \dot{e} = \dot{x}-\dot{\hat{x}} =(A-GC)e\end{cases}$

证明确定使 $\hat{x}$ 渐进与x的条件:

对误差求导，我们可以得到如下解：

$e = e^{(A-GC)t}e(0)=e^{(A-GC)t}[\dot{x}_{0}-x_{0}]$

由上式可知，当（A-GC）的特征值均为负实部，才能满足 $\lim\limits_{t\to+\infty} |x-\hat{x}|=0$

状态观测器的设计

假设一个线性系统如下：

$\begin{cases} \dot{x}_{1} = x_{2}\\ \dot{x}_{2}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+5u\\y=5x_{1} \end{cases}$

将上式写成状态空间的形式如下，设 $x = [x_{1},x_{2}]^{T}$

其中 $A=(\begin{matrix} 0& 1 \\ m_{1} & m_{2} \\ \end{matrix}) ,\quad B=(\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ \end{matrix}),\quad C=(\begin{matrix} 5 &0 \\ \end{matrix})$ ,

判断系统是否能观： $R=(\begin{matrix} C \\ CA \\ \end{matrix})=(\begin{matrix} 5&0 \\ 0&5 \\ \end{matrix})=2$ ，由此可知，此系统是满秩，所以能观，根据状态观测器的构造原则可知，可以构造观测器。

原系统构建：若原系统渐进稳定，那么矩阵A满足Hurwitz条件，即系统A的所有特征值全部小于0.即

$|\lambda I-A|=\lambda^{2}-\lambda m_{2}-m_{1}=0$

因此特征值和积需满足： $\lambda_{1}+\lambda_{2}=m_{2}<0,\lambda_{1}\lambda_{2}=-m_{1}>0$ ，取 $m_{2}=-2,m_{1}=-1$

观测器构建：

$\begin{cases} \dot{\hat{x}} = A\hat{x}+Bu+G(y-C\hat{x}) \\ y = C{x} \end{cases}$

观测器的误差为：

$\begin{cases} e = x-\hat{x}\\ \dot{e} = \dot{x}-\dot{\hat{x}} =(A-GC)e\end{cases}$

我们最初目的是为了让 $\lim\limits_{t\to+\infty} |x-\hat{x}|=0$ ，也就是目的让误差趋于0。此时我们需要让矩阵A-GC满足Hurwitz条件，即：

$A-GC=(\begin{matrix} 0& 1 \\ m_{1} & m_{2} \\ \end{matrix}) -(\begin{matrix} 5g_{1}& 0 \\5g_{2} & 0 \\ \end{matrix})=(\begin{matrix} -5g_{1}& 1 \\ m_{1}-5g_2 & m_{2} \\ \end{matrix})$

将 $m_{2}=-2,m_{1}=-1$ 带入上式中，我们并求det( $\lambda$ I-(A-GC)),使其满足Hurwitz条件

$A-GC=(\begin{matrix} -5g_{1}& 1 \\ m_{1}-5g_2 & m_{2} \\ \end{matrix})=(\begin{matrix} -5g_{1}& 1 \\ -1-5g_2 & -2 \\ \end{matrix})$

det( $\lambda$ I-(A-GC))= $\lambda^{2}+(5g_{1}+2)\lambda +5g_{2}+2=0$ ,

因此特征值和积需满足, $\lambda_{1}+\lambda_{2}=-(5g_{1}+2)<0,\lambda_{1}\lambda_{2}=5g_{2}+2>0$ ,取 $g_{2}=2,g_{1}=1$

状态观测器的仿真验证

控制输入，也就是控制器，我们输入一个正弦函数

x1的状态，以及x1的状态观测

x2的状态，以及x2的状态观测

代码：

clc 
clear all
close all

stepLength = 0.002;                               
N = 100000;                                        
timeStart = 0;                                     
timeEnd = N * stepLength;                          
t = timeStart:stepLength:timeEnd ; 
u = sin(t);
k = 1;  % 迭代起始步数
x1 = zeros(size(t));
x2 = zeros(size(t));
x1(:,1) = 1;
x2(:,1) = 1;
x1_hat = zeros(size(t));
x2_hat = zeros(size(t));
x1_hat(:,1) = 0.2;
x2_hat(:,1) = 0.2;
for tt = timeStart : stepLength: (N-1)*stepLength
    k

    % 原系统
    dx1 = x2(:,k);
    dx2 = -x1(:,k)-2*x2(:,k)+5*u(:,k);
    
    % 观测器
    dx1_hat = x2_hat(:,k)+5*(x1(:,k)-x1_hat(:,k));
    dx2_hat = -x1_hat(:,k)-2*x2_hat(:,k)+5*u(:,k)+2*5*(x1(:,k)-x1_hat(:,k));
    
    %
    % 更新坐标
    x1(:,k+1) = x1(:,k) + dx1 * stepLength;                                            
    x2(:,k+1) = x2(:,k) + dx2 * stepLength;  
    
    x1_hat(:,k+1) = x1_hat(:,k) + dx1_hat * stepLength;                                            
    x2_hat(:,k+1) = x2_hat(:,k) + dx2_hat * stepLength;  
    k = k+1;  
end
figure
plot(t,x1,'linewidth',1.5)
hold on
plot(t,x1_hat,'--red','linewidth',1.5)
hold on
xlabel('Time(Sec)')
legend('x_{1}','observe x_{1}')

figure
plot(t,x2,'linewidth',1.5)
hold on
plot(t,x2_hat,'--green','linewidth',1.5)
hold on
xlabel('Time(Sec)')
legend('x_{2}','observe x_{2}')