匈牙利算法

匈牙利算法是一种用于求解二分图最大匹配问题的算法。在匈牙利算法中，我们利用增广路径来不断扩大已有的匹配，直到无法找到增广路径为止，此时得到的匹配就是最大匹配。

二分图

首先，我们需要了解什么是二分图。二分图是指一个图的顶点可以分为两个独立的集合U和V，并且任何一条边的两个顶点分别属于集合U和V。

对于一个二分图，我们希望找到一种匹配，即图中的边两两之间没有公共顶点。而最大匹配则是指在所有可能的匹配中，边数最多的匹配。

匈牙利算法原理

匈牙利算法的核心思想是不断寻找增广路径来扩大已有的匹配。增广路径是指一条起始顶点不属于当前匹配的顶点，通过交替经过匹配和未匹配的边，最终到达另一个未匹配的顶点。

算法的具体步骤如下：

1. 初始化一个空的匹配，即所有的顶点都未匹配。
2. 对于每个未匹配的顶点u，尝试找到一条从u开始的增广路径。
3. 如果找到了增广路径，将匹配中的边进行翻转。
4. 重复步骤2和3，直到无法找到增广路径。

匈牙利算法实现

下面是一个使用Python实现的匈牙利算法的示例代码：

def dfs(u, graph, match, visited):
    for v in graph[u]:
        if not visited[v]:
            visited[v] = True
            if match[v] == -1 or dfs(match[v], graph, match, visited):
                match[u] = v
                match[v] = u
                return True
    return False

def hungarian(graph, n, m):
    match = [-1] * (n + m)  # 匹配数组，初始化为-1
    count = 0  # 当前匹配的边数

    for u in range(n):
        visited = [False] * (n + m)  # 标记数组，用于记录顶点是否被访问过
        if dfs(u, graph, match, visited):
            count += 1

    return count

# 示例用法
graph = {0: [0, 1], 1: [2], 2: [3, 4], 3: [5], 4: [6]}
n = 3  # 左侧顶点数
m = 4  # 右侧顶点数

max_matching = hungarian(graph, n, m)
print(max_matching)  # 输出：3

在示例中，我们定义了一个二分图，并调用hungarian函数来求解最大匹配。函数的参数graph表示二分图的邻接表表示，n和m分别表示左侧和右侧顶点的数量。最后，我们将得到的最大匹配数输出到控制台。

总结

匈牙利算法是一种用于求解二分图最大匹配问题的有效算法。通过不断寻找增广路径来扩大已有的匹配，最终得到最大匹配。通过实现匈牙利算法，我们可以快速求解二分图最大匹配问题。