【数据结构】证明建堆的时间复杂度-CFANZ编程社区

建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树。此处为了简化，将采用满二叉树来证明。（时间复杂度本来看的就是近似值，所以多几个节点不会影响最终结果）：

假设树的高度为

【数据结构】证明建堆的时间复杂度_算法

：

【数据结构】证明建堆的时间复杂度_时间复杂度_02

则需要移动节点总的移动步数为：

$T(n) = 2^0 * (h-1) + 2^1 *(h-2) + 2^2 * (h-3) + 2^3 * (h-4) + ... + 2^{h-3} * 2 + 2^{h-2} * 1$

①

②

② - ① 错位相减：

$T(n) = 1-h+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{h-2}+2^{h-1}$

$T(n) = 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{h-2} + 2^{h-1}-h$

【数据结构】证明建堆的时间复杂度_算法_12

$n = 2^h-1\, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, h = log_2(n+1)$

$T(n) = n-log_2(n+1) \approx n$

因此，建堆的时间复杂度为

${\color{Red} O}({\color{Blue} N})$