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问题描述

给定$n(1\le n\le 2\ast 10^6)$和$seed$，将基于$seed$生成两个长度为$n$的序列$a_i$和$b_i(0\le b_i<i)$。
我们的任务就是从序列$a_i$中依照规则进行选择，问我们有多少种选择策略，结果对$1e9+7$取模。
规则有两条，
第一：我们选择的$a_i$不能小于上一次选择的元素。
第二：若要选择$a_i$，需要保证在序列段$a_{(i-b_i)}$和$a_{i-1}$之间存在被选择过的元素，否则不能选择$a_i$。

分析

朴素思路

直接进行DP

    dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+1;
		for(int j=i-1;j>=i-b[i];j--){
			if(a[i]>=a[j]){
				(dp[i]+=dp[j]-dp[j-1])%mod;
			}
		}
	}

状态$dp[i]$表示长度为$i$的序列的方案数，边界条件为$dp[1]=1$,也就是只有一个元素时方案数为$1$。
对于$dp[i]$，首先$dp[i]=dp[i-1]+1$，也就是在$dp[i-1]$的基础上，考虑一种只选择元素$a_i$的情况；
之后，考虑在选择了元素$a_i$的基础上，与前序元素的承接，如果在区间$[a_{i-b[i]},a_{i-1}]$中，存在元素$a_j$小于等于$a_i$，那么$(dp[i]+=dp[j]-dp[j-1])\%mod$，$dp[i]$要加上$dp[j]-dp[j-1]$。
所谓的承接就是在这种情况下同时选择了$a_i$和$a_j$，但$dp[j]$中包含了选择$a_j$和没有选择$a_j$的情况，所以要用$dp[j]-dp[j-1]$。

但很明显可以看出，这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$，会超时，所以我们不使用这种方法。

树状数组+优化DP

之前朴素DP不理想的原因是进行了双重循环，所以时间复杂度为$O(n^2)$，会超时，那么我们接下来的思路就是对这个循环进行优化。
在第二重循环中，我们的工作是依次访问区间$[a_{(i-b_i)},a_{i-1}]$中的元素，正是因为我们此时无法得知在这个区间中的大小情况，所以才需要依次访问，如果我们可以直接得知这一区间的情况就可以优化循环。

树状数组小结——>求逆序对数
求逆序对数是一道经典例题，解法多样，用树状数组解法时的思路与这道题有类似的地方，可以借鉴一下。

我们定义状态$dp[i]$为以$a_i$作为最后一个元素的选择方案数。
再对序列$a_i$依照大小进行从小到大的排序，然后依照大小依次处理，将其依次插入到$dp$数组中，每次处理时就不必依次访问区间$[a_{i-b[i]},a_{i-1}]$中的元素。

以$dp[i]$为例，$dp[i]=1+{\sum }_{k=i-b_i}^{i-1}dp[k]$
由于我们是采用从小到大的处理顺序，所以区间中出现$a_k>a_i$时，对应的$dp[k]$还是$0$，所以此时实际相加的还是元素值小于等于$a_i$的情况。

最后输出整个数组的和就是我们最后的解。

由于过程中需要频繁的求区间和，所以要借助树状数组来优化时间，当然了，用其他可以处理RMQ问题的方法同样可以优化时间。
ST表，处理静态RMQ，虽然可以处理RMQ，但由于更新操作过多，所以不适合；
线段树，处理一般RMQ，值得一试。

代码

#include<bits/stdc++.h>
namespace GenHelper
{
    int z1,z2,z3,z4,z5,u,res;
    int get()
    {
        z5=((z1<<6)^z1)>>13;
        z1=((int)(z1&4294967)<<18)^z5;
        z5=((z2<<2)^z2)>>27;
        z2=((z2&4294968)<<2)^z5;
        z5=((z3<<13)^z3)>>21;
        z3=((z3&4294967)<<7)^z5;
        z5=((z4<<3)^z4)>>12;
        z4=((z4&4294967)<<13)^z5;
        return (z1^z2^z3^z4);
    }
    int read(int m) {
        u=get();
        u>>=1;
        if(m==0)res=u;
        else res=(u/2345+1000054321)%m;
        return res;
    }
     void srand(int x)
    {
        z1=x;
        z2=(~x)^(0x23333333);
        z3=x^(0x12345798);
        z4=(~x)+51;
      	u = 0;
    }
}
using namespace GenHelper;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+7,mod=1e9+7;
int a[N],b[N],n;
int dp[N];
pair<int,int>p[N];
void update(int i , int k) {
	while(i<=n)dp[i]=(dp[i]+k)%mod,i+=i&-i;
}
int getsum(int i){
	int sum=0;
    if(i<=0)return 0;
    while(i)sum=(sum+dp[i])%mod,i -= i&-i;
    return sum;
}
int main(){
    int seed;
    scanf("%d %d",&n,&seed);
	srand(seed);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read(0),b[i]=read(i);
		p[i].first=a[i],p[i].second=i;
	}
	sort(p+1,p+1+n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int k=p[i].second;
		int tmp=(getsum(k-1)-getsum(k-b[k]-1)+1+mod)%mod;
		update(k,tmp);
	}
	cout<<getsum(n);
    return 0;
}