交错级数及其审敛法-CFANZ编程社区

称为交错级数

判断下列级数的敛散性

例 1

解: $U_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}>U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ ,满足条件1。

例 2

$\frac{1}{n}=1,1/2,1/3.....<\pi /2$

所以 $cos\frac{1}{n}$ 都在第一象限，一正一负，所以是交错级数

因为

$\lim_{n \to \infty }cos\frac{1}{n}=1$

所以发散

例3

通过求导判断级数的单调性

当x>e时，单调递减

即当 $n\geq 3$ 时， $U_{n}\geq U_{N+1}$ 去掉有限项，改变有限项，增加有限项都不影响整个级数的敛散性

洛比达法则

所以收敛

例4

判断下列级数是绝对收敛还是条件收敛

$\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{1}{lnn+1}$

$\sum_{n \to 1}^{\infty }|(-1)^{n+1}\frac{1}{lnn+1}|=\sum_{n \to 1}^{\infty }|\frac{1}{lnn+1}|$

比较 $\frac{1}{lnn+1}$ 与 $\frac{1}{n+1}$ 大小。

即 lnn-n

f(x)=lnx-x 求导

${f}'(x)=\frac{1}{x}-1$ {f}'(x)<0

因为 $x\geq 1$ ,所以

$\frac{1}{lnn+1}$ 大于 $\frac{1}{n+1}$

因为

而 $\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{1}{lnn+1}$ 收敛，所以是条件收敛

例5

设 $\gamma >0$ , $\sum_{n \to 1}^{\infty }a_{n}^{2}$ 收敛，则 $\sum_{n \to 1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{|a_{n}|}{\sqrt{n^{2}+\gamma }}\leq \frac{1}{2}(a_{n}^{2}+\frac{1}{n^{2}+\gamma })$

这里用到均值不等式 $ab\leq a^{2}+b{\color{Red} }^{2}$