在统计中，巴氏距离（Bhattacharyya Distance）测量两个离散或连续概率分布的相似性。它与衡量两个统计样品或种群之间的重叠量的巴氏系数密切相关。巴氏距离和巴氏系数以20世纪30年代曾在印度统计研究所工作的一个统计学家A. Bhattacharya命名。同时，巴氏系数可以被用来确定两个样本被认为相对接近的，它是用来测量中的类分类的可分离性。
首先，我们先定义离散和连续情况下的巴氏系数：
离散值：
B
C
(
p
,
q
)
=
∑
p
(
x
)
q
(
x
)
连续值：
B
C
(
p
,
q
)
=
∫
p
(
x
)
q
(
x
)
d
x
\begin{aligned} &\text{离散值：}BC(p, q)=\sum\sqrt{p(x)q(x)}\\ &\text{连续值：}BC(p, q)=\int\sqrt{p(x)q(x)}\text{d}x \end{aligned}
离散值：BC(p,q)=∑p(x)q(x)连续值：BC(p,q)=∫p(x)q(x)dx
在得到了巴氏系数后巴氏距离被定义为：
D
B
(
p
,
q
)
=
−
ln
(
B
C
(
p
,
q
)
)
D_B(p, q)=-\ln(BC(p, q))
DB(p,q)=−ln(BC(p,q))
从公式可以看出，巴氏系数
B
C
(
p
,
q
)
BC(p, q)
BC(p,q)可以海林格距离联系起来，此时海林格距离可以被定义为：
H
(
p
,
q
)
=
1
−
B
C
(
p
,
q
)
H(p, q)=\sqrt{1-BC(p,q)}
H(p,q)=1−BC(p,q)
接下来，我们来看一下求 B C ( p , q ) BC(p, q) BC(p,q)的Python实现以及求出 B C ( p , q ) BC(p, q) BC(p,q)后求解海林格距离和巴氏距离的Python实现：
def BC(p,q):
import numpy as np
p = np.array(p)
q = np.array(q)
return np.sum(np.sqrt(p * q))
def HellingerDistance(p, q):
import numpy as np
bc = BC(p,q)
return np.sqrt(1 - bc)
def BhattacharyyaDistance(p, q):
import numpy as np
bc = BC(p,q)
return np.log(bc)
