我们可以把幂级数  

中的变量 x 推广到复变量 

（x,  y为实变量),对应的幂级数为  

. 相应地指数函数eˣ 的幂级数展开式可推广为

一.   当 z = iy时， 根据sinx,  cosx 的幂级数展开式，  容易得出

欧拉公式:

二.  因此，  对于z = α + iβ, 有

欧拉公式使得在复数范围的 指数函数和三角函数建立了联系, 被誉为 "数学中的天桥"。