温州大学《机器学习》课程代码（二）（回归）

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单变量线性回归

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号

path = 'data/regress_data1.csv'
data = pd.read_csv(path)
data.head()

data.describe()

看下数据长什么样子

data.plot(kind='scatter', x='人口', y='收益', figsize=(12,8))
plt.xlabel('人口', fontsize=18)
plt.ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
plt.show()

现在让我们使用梯度下降来实现线性回归，以最小化代价函数。

首先，我们将创建一个以参数 为特征函数的代价函数

其中：

def computeCost(X, y, w):
    inner = np.power(((X * w.T) - y), 2)# (m,n) @ (n, 1) -> (n, 1)
#     return np.sum(inner) / (2 * len(X))
    return np.sum(inner) / (2 * X.shape[0])

让我们在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。

data.insert(0, 'Ones', 1)
data

97 rows × 3 columns

现在我们来做一些变量初始化。

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,:cols-1]#X是所有行，去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:]#X是所有行，最后一列

观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.

X.head()#head()是观察前5行

y.head()

代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。我们还需要初始化w。

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
w = np.matrix(np.array([0,0]))

w 是一个(1,2)矩阵

w

matrix([[0, 0]])

看下维度

X.shape, w.shape, y.shape

((97, 2), (1, 2), (97, 1))

计算代价函数 (theta初始值为0).

computeCost(X, y, w)

32.072733877455676

Batch Gradient Decent（批量梯度下降）

def batch_gradientDescent(X, y, w, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(w.shape))
    parameters = int(w.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)

    for i in range(iters):
        error = (X * w.T) - y

        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error, X[:, j])
            temp[0, j] = w[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))

        w = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, w)

    return w, cost

初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数。

alpha = 0.01
iters = 1000

现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。

g, cost = batch_gradientDescent(X, y, w, alpha, iters)
g

matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

最后，我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）。

computeCost(X, y, g)

4.515955503078912

现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。

x = np.linspace(data['人口'].min(), data['人口'].max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x, f, 'r', label='预测值')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='训练数据')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('预测收益和人口规模', fontsize=18)
plt.show()

由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。请注意，代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('迭代次数', fontsize=18)
ax.set_ylabel('代价', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('误差和训练Epoch数', fontsize=18)
plt.show()

多变量线性回归

练习还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。

path = 'data/regress_data2.csv'
data2 = pd.read_csv(path)
data2.head()

对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。这个对于pandas来说很简单

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()

现在我们重复第1部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序。

# add ones column
data2.insert(0, 'Ones', 1)

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]

# convert to matrices and initialize theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
w2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))

# perform linear regression on the data set
g2, cost2 = batch_gradientDescent(X2, y2, w2, alpha, iters)

# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2)

0.13070336960771892

我们也可以快速查看这一个的训练进程。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('迭代次数', fontsize=18)
ax.set_ylabel('代价', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('误差和训练Epoch数', fontsize=18)
plt.show()

我们也可以使用scikit-learn的线性回归函数，而不是从头开始实现这些算法。我们将scikit-learn的线性回归算法应用于第1部分的数据，并看看它的表现。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

LinearRegression()

scikit-learn model的预测表现

x = np.array(X[:, 1].A1)
f = model.predict(X).flatten()

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x, f, 'r', label='预测值')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='训练数据')
ax.legend(loc=2, fontsize=18)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('预测收益和人口规模', fontsize=18)
plt.show()

正则化

，此时称作​​Ridge Regression​​：

from sklearn.linear_model import Ridge
model = Ridge()
model.fit(X, y)

Ridge()

x2 = np.array(X[:, 1].A1)
f2 = model.predict(X).flatten()

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x2, f2, 'r', label='预测值Ridge')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='训练数据')
ax.legend(loc=2, fontsize=18)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('预测收益和人口规模', fontsize=18)
plt.show()

正则化：

，此时称作​​Lasso Regression​​

from sklearn.linear_model import Lasso
model = Lasso()
model.fit(X, y)

Lasso()

x3= np.array(X[:, 1].A1)
f3 = model.predict(X).flatten()

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x3, f3, 'r', label='预测值Lasso')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='训练数据')
ax.legend(loc=2, fontsize=18)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('预测收益和人口规模', fontsize=18)
plt.show()

调参

from sklearn.model_selection import cross_val_score
alphas = np.logspace(-3, 2, 50)
test_scores = []
for alpha in alphas:
    clf = Ridge(alpha)
    test_score = np.sqrt(-cross_val_score(clf, X, y, cv=5, scoring='neg_mean_squared_error'))
    test_scores.append(np.mean(test_score))

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(alphas, test_scores)
plt.title("Alpha vs CV Error");
plt.show()

最小二乘法(LSM)

最小二乘法的需要求解最优参数 ：

已知：目标函数

其中：

将向量表达形式转为矩阵表达形式，则有 ，其中 为 行 列的矩阵（ 为样本个数， 为特征个数）， 为 行1列的矩阵(包含了 )， 为 行1列的矩阵，则可以求得最优参数

梯度下降与最小二乘法的比较：

梯度下降： 需要选择学习率 ，需要多次迭代，当特征数量 大时也能较好适用，适用于各种类型的模型

最小二乘法： 不需要选择学习率 ，一次计算得出，需要计算 ，如果特征数量 较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为 ，通常来说当 小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型

# 正规方程
def LSM(X, y):
    w = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)
    return w

final_w2=LSM(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_w2

matrix([[-3.89578088],
        [ 1.19303364]])

#梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

参考

• 机器学习，吴恩达
• 《统计学习方法》，李航
• 机器学习课程，邹博