文章目录

• • • 1. 傅立叶级数
    • • 1.1 定义
      • 1.2 推导
      • • 1.2.1 三角函数逼近
        • 1.2.2 多项式展开
        • 1.2.3 三角函数的正交性
        • 1.2.4 积化和差
        • 1.2.5 实数下的傅立叶级数
      • 1.3 复数形式上的傅立叶级数
      • • 1.3.1 欧拉公式
        • 1.3.2 复数上的傅立叶级数
    • 2. 傅立叶变换
    • 3. 参考

1. 傅立叶级数

1.1 定义

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]\\ a_n& =\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos (n\omega t)dt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin (n\omega t)dt\end{array}$$

1.2 推导

1.2.1 三角函数逼近

$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)\\ A_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)& =A_n\sin {\varphi }_n\cos n\omega t+A_n\cos {\varphi }_n\sin n\omega t\\ a_n& =A_n\sin {\varphi }_n\\ b_n& =A_n\cos {\varphi }_n\end{array}$$

1.2.2 多项式展开

$$\begin{array}{rl}f(x)& =A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+\cdots \\ f^{\prime }(x)& =B+2Cx+3D{x}^2+\cdots \\ f^{\prime \prime }(x)& =2C+6Dx+\cdots \\ A& =f(0),B=f^{\prime }(0),C=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2},D=\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}\\ N& =\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\end{array}$$

1.2.3 三角函数的正交性

$$\begin{array}{r}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)dx=0(n=1,2,3,\cdots )\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)dx=0(n=1,2,3,\cdots )\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (kx)\cos (nx)dx=0(k,n=1,2,3,\cdots ,k\ne n)\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (kx)\cos (nx)dx=0(k,n=1,2,3,\cdots ,k\ne n)\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (kx)\sin (nx)dx=0(k,n=1,2,3,\cdots ,k\ne n)\end{array}$$

1.2.4 积化和差

$$\begin{array}{r}\sin kx\cos nx=\frac{1}{2}[\sin (k+n)x+\sin (k-n)x]\\ \sin kx\sin nx=\frac{1}{2}[\cos (k-n)x-\cos (k+n)x]\\ \cos kx\cos nx=\frac{1}{2}[\cos (k+n)x+\cos (k-n)x]\end{array}$$

1.2.5 实数下的傅立叶级数

$f(t)=A_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]$

两边求积分:
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt& ={\int }_{-\pi }\pi A_{0}dt+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n\omega t)dt+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(n\omega t)dt\\ & =2\pi A_0\\ A_0& =\frac{{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt}{2\pi }\end{array}$$
计算$a_n:$
$$\begin{array}{rlr}f(t)\cos n\omega t& =\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos k\omega t\cos n\omega tdt+b_n{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos k\omega t\sin n\omega tdt& =\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos k\omega t\cos n\omega tdt\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos k\omega t\cos n\omega tdt& \\ & =a_n{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\cos }^2(n\omega t)dt(n=k)& \\ & =\frac{a_n}{2}({\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}1dt+{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos (2n\omega t))dt& \\ & =\frac{a_n}{2}\times T& \\ & =\frac{T{a}_n}{2}& \\ & =\pi a_n& \end{array}$$
因此$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos (n\omega t)f(t)dt=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n\omega t)f(t)dt$;\
同理可得$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin (n\omega t)f(t)dt=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (n\omega t)f(t)dt$。\
又有$A_0=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt}{\pi }$。\
将求得的项代入得到：$f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)$

至此，傅立叶级数实数上推导完成。

1.3 复数形式上的傅立叶级数

1.3.1 欧拉公式

$$\begin{array}{r}{e}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \\ e^{i-\theta }=\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )=\cos \theta -i\sin \theta \\ \cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}\\ \sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2}\end{array}$$

1.3.2 复数上的傅立叶级数

代入到傅立叶级数的实数形式：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]\\ & =A_0+\sum _{i=1}^{\infty }{a}_n\frac{e^{ni\omega t}+e^{-ni\omega t}}{2}+b_n\frac{e^{ni\omega t}-e^{-ni\omega t}}{2}\\ & =A_0+\sum _{i=1}^{\infty }[\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{ni\omega t}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-ni\omega t}]\end{array}$$
由$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos (n\omega t)dt$\ ,$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin (n\omega t)dt$可得:\
$\frac{a_n-i{b}_n}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)[\cos (n\omega t)-i\sin (n\omega t)]dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ni\omega t}dt$\
$\frac{a_n+i{b}_n}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)[\cos (n\omega t)+i\sin (n\omega t)]dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{ni\omega t}dt$\
再将其代入到$f(t)$的表达式中可得: \
$f(t)=A_0+\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ni\omega t}dt{e}^{ni\omega t}+\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{ni\omega t}dt{e}^{-ni\omega t}$\
将上式中第三项的$n$换为$-n$可得:\
$f(t)=A_0+\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ni\omega t}dt{e}^{ni\omega t}+\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{-1}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ni\omega t}dt{e}^{ni\omega t}$\
又有$A_0=\frac{1}{2}\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-0i\omega t}dt{e}^{0i\omega t}$\
综上可得$f(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ni\omega t}dt{e}^{ni\omega t}$

2. 傅立叶变换

上面的傅立叶级数是周期为$T$的形式的，我们让$T\to \infty$就可以得到非周期的了。\
$$\begin{gathered} T\to \infty ,\Delta \omega \to dW,{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}, \\ \Delta W={\omega }_0=(n+1){\omega }_0-n{\omega }_0,n{\omega }_0\to W; \\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\Delta W={\int }_{-\infty }^{\infty }dW \end{gathered}$$。
代入到上面的周期性傅立叶变换函数中去，可以得到：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }(\frac{\Delta W}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iWt})e^{iWt}\\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iWt}dt{e}^{iWt}\Delta W\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(W)e^{iWt}dW\end{array}$$
其中$F(W)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iWt}dt$称为傅立叶变换。

3. 参考

leinlin
kaizhao