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问题描述

　　共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

输入格式

　　一行两个正整数n和m

输出格式

　　一个实数P表示答案，保留4位小数。

样例输入

2 3

样例输出

0.7500

数据规模和约定

　　1≤n，m≤20

分析

共有n种图案的印章，则每种图案的出现概率 p=1/n。

利用二位数组 arr[i][j]来表示买i张印章时，出现j种印章图案的概率。（代码中下标是从0开始的，注意区分）

① 当 i<j时，表示买的印章数量<印章图案的种类，此时集齐j种印章图案的概率为0；

② 当 j=1时，表示买了 i个印章，但是印章的图案只有一种，这个图案可以是n种图案中的任意一种，此时概率为 p^(i)*n=p^(i-1);

③ 其他情况下，买i张印章时，出现j种印章图案的概率，即 arr[i][j] 如何计算呢？

• 买 i-1 个印章时，出现j种图案的概率是 arr[i-1][j]。那么接下来买的1个印章，与之前出现 j种图案重复的概率为j/n
• 买 i-1 个印章时，出现j-1种图案的概率是 arr[i-1][j-1]。那么接下来买的1个印章，与之前的出现 j-1种图案不重复的概率为 (n-(j-1))/n

故 arr[i][j]的概率为 arr[i-1][j]*(j/n)+arr[i-1][j-1]*(n-(j-1))/n

代码实现

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 20
int main() {
	int n, m, i, j;
	scanf_s("%d %d", &n, &m);
	double arr[N][N];
	double p = 1.0 / n;	//n种图案的印章，每种图案的出现概率
	for (i = 1; i <= m; i++) {	//买i张印章
		for (j = 1; j <= n; j++) {	//集j种印章
			if (i < j)
				arr[i - 1][j - 1] = 0;
			else if (j == 1) {
				arr[i - 1][j - 1] = pow(p, i - 1);
			}
			else {
				arr[i - 1][j - 1] = arr[i - 2][j - 1] * (j * p) + arr[i - 2][j - 2] * ((n - j + 1) * p);
			}
		}
	}
	printf("%.4f", arr[m - 1][n - 1]);
	return 0;
}