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空间曲线的一般方程
空间曲线 C {C} C可以看作空间两曲面的 S 1 {S_{1}} S1和 S 2 {S_{2}} S2的交线，设两曲面方程为
因此，方程组
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
\begin{align} \left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)=0 , \\ G(x,y,z)=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align}
{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,
称为空间曲线的一般方程.
空间曲线的参数方程
空间曲线也可以用参数形式表示，将曲线 C C C上的动点的坐标 x , y , z x,y,z x,y,z表示参数 t t t的函数，即
{
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
z
=
z
(
t
)
.
\begin{align} \left\{ \begin{aligned} x&=x(t) , \\ y&=y(t),\\ z&=z(t). \end{aligned} \right. \end{align}
⎩
⎨
⎧xyz=x(t),=y(t),=z(t).
方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程. 当给定
t
=
t
1
t=t_{1}
t=t1时，得到曲线上的一点
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
(x_{1},y_{1},z_{1})
(x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.
空间曲线在坐标面上的投影
- 投影柱面及投影曲线
- 投影柱面及投影曲线的求法
设空间曲线
C
C
C的一般方程为
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
\begin{align} \left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)=0 , \\ G(x,y,z)=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align}
{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,
消去
z
z
z得投影柱面
H
(
x
,
y
)
=
0
H(x,y)=0
H(x,y)=0，则
C
C
C在
x
O
y
xOy
xOy面上的投影曲线
C
′
C^{'}
C′为
{
H
(
x
,
y
)
=
0
,
z
=
0
,
\begin{align} \left\{ \begin{aligned} H(x,y)&=0 , \\ z&=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align}
{H(x,y)z=0,=0,
消去
x
x
x得
C
C
C在
y
O
z
yOz
yOz面上的投影曲线方程
{
R
(
y
,
z
)
=
0
,
x
=
0
,
\begin{align} \left\{ \begin{aligned} R(y,z)&=0 , \\ x&=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align}
{R(y,z)x=0,=0,
消去
y
y
y得
C
C
C在
x
O
z
xOz
xOz面上的投影曲线方程
{
T
(
x
,
z
)
=
0
,
y
=
0
,
\begin{align} \left\{ \begin{aligned} T(x,z)&=0 , \\ y&=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align}
{T(x,z)y=0,=0,
