文章目录

• ​​二叉树遍历的三种方法​​

• ​​写出下图二叉树的各种遍历顺序​​
• ​​性质​​
• ​​已知先序中序、后序中序确定一颗二叉树​​
• ​​已知中序后序，确定一棵二叉树​​

• ​​二叉树遍历递归算法​​

• ​​二叉树先序遍历算法​​
• ​​二叉树中序遍历算法​​
• ​​二叉树后序遍历算法​​
• ​​遍历算法的分析​​

• ​​二叉树遍历非递归算法​​

• ​​中序遍历非递归算法​​

• ​​二叉树的层次遍历​​

• ​​使用队列类型定义​​
• ​​二叉树的层次遍历算法​​

• ​​遍历二叉树算法的应用​​

• ​​先序遍历的顺序建立二叉链表​​
• ​​复制二叉树​​
• ​​计算二叉树的深度​​
• ​​计算二叉树结点总数​​
• ​​计算二叉树叶子结点数​​

• ​​线索二叉树​​

• ​​实例​​
• ​​先序线索二叉树​​
• ​​中序线索二叉树​​
• ​​后序线索二叉树​​
• ​​练习​​
• ​​增设头结点​​

二叉树遍历的三种方法

由二叉树的递归定义可知，遍历左子树和遍历右子树可如同遍历二叉树一样“递归”进行。

写出下图二叉树的各种遍历顺序

写出下图二叉树的各种遍历顺序

答：

先序：A B D G C E H F

中序：D G B A E H C F

后序：G D B H E F C A

性质

若二叉树中各节点的值均不相同，则二叉树结点的先序序列、中序序列和后序列都是唯一的。

由二叉树的先序序列和中序序列，或由二叉树的后序序列和中序序列可以确定唯一一棵二叉树。

已知先序中序、后序中序确定一颗二叉树

先序：A B C D E F G H I J

中序：C D B F E A I H G J

分析：由先序序列确定根；由中序序列确定左右子树。

1.由先序知根为A，则由中序知左子树为CDBFE，右子树为IHGJ。

2.CDBFE和IHGJ再分别确定根。

3.以此类推，得到二叉树

已知中序后序，确定一棵二叉树

中序序列：BDCEAFHG

后序序列：DECBHGFA，请画出这棵二叉树。

提示：后序遍历，根结点必在后序序列尾部。

后序：DECBHGFA

中序：BDCEAFHG

后序：DECB 后序：DEC

中序：BDCE 中序：DCE

后序：HGF 后序：HG

中序：FHG 中序：HG

二叉树遍历递归算法

二叉树先序遍历算法

Status PreOrderTraverse(BiTree T) {
  if(T == NULL) return OK;  // 空二叉树
  else {
    visit(T); // 访问根节点，例如，输出根节点printf("%d\t", T -> data);
    PreOrderTraverse(T -> lchild);  // 递归遍历左子树
    PreOrderTraverse(T -> rchild);  // 递归遍历右子树
  }
}

二叉树中序遍历算法

Status InOrderTraverse(BiTree T) {
  if(T == NULL) return OK;  // 空二叉树
  else {
    InOrderTraverse(T -> lchild); // 递归遍历左子树
    visit(T); // 访问根节点
    InOrderTraverse(T -> rchild); // 递归遍历右子树
  }
}

二叉树后序遍历算法

Status PostOrderTraverse(BiTree T) {
  if(T == NULL) return OK;  // 空二叉树
  else {
    PostOrderTraverse(T -> lchild); // 递归遍历左子树
    PostOrderTraverse(T -> rchild); // 递归遍历右子树
    visit(T); // 访问根节点
  }
}

遍历算法的分析

如果去掉输出语句，从递归的角度看，三种算法是完全相同的，或说这三种算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过3次。

第1次经过时访问 = 先序遍历。

第2次经过时访问 = 中序遍历。

第3次经过时访问 = 后序遍历。

遍历算法的时间效率：O(n)，每个结点只访问一次。

遍历算法的空间效率：O(n)，栈占用的最大辅助空间。

二叉树遍历非递归算法

中序遍历非递归算法

二叉树中序遍历的非递归算法的关键：在中序遍历过某结点的整个左子树后，如何找到该结点的根以及右子树。

基本思想：

（1）建立一个栈。

（2）根结点进栈，遍历左子树。

（3）根结点出栈，输出根结点，遍历右子树。

上述算法，下图所示二叉树的中序非递归遍历的栈S的变化过程如图所示：

二叉树的层次遍历

使用队列类型定义

typedef struct {
  BTNode data[MaxSize]; // 存放队中元素
  int front, rear;    // 队头和队尾指针
} SqQueue;          // 顺序循环队列类型

二叉树的层次遍历算法

void LevelOrder(BTNode *b) {
  BTNode *p;  SqQueue *qu;
  InitQueue(qu);        // 初始化队列
  enQueue(qu, b);       // 根结点指针进入队列
  while (!QueueEmpty(qu)) { // 队不为空，则循环
    deQueue(qu, p);     // 出队结点p
    printf("%c", p -> data);// 访问结点p
    if(p -> lchild != NULL) enQueue(qu, p -> lchild);// 有左孩子时将其进队
    if(p -> rchild != NULL) enQueue(qu, p -> rchild);// 有右孩子时将其进队
  }
}

遍历二叉树算法的应用

先序遍历的顺序建立二叉链表

对于图示二叉树，按下列顺序读入字符：

ABC##DE#G##F###

Status CreateBiTree(BiTree &T) {
  scanf(&ch);     // cin >> ch;
  if(ch == "#") T = NULL;
  else {
    if (!(T = (BiNode *)malloc(sizeof(BiTNode))))
      exit(OVERFLOW); // T = new BiTNode;
    T -> data = ch;   // 生成根节点
    CreateBiTree(T -> lchild);  // 构造左子树
    CreateBiTree(T -> rchild);  // 构造右子树
  }
  return OK;
} // CreateBiTree

复制二叉树

如果是空树，递归结束；

否则，申请新结点空间，复制根节点。

递归复制左子树；

递归复制右子树。

void Copy(BiTree T, BiTree &NewT)
{ // 复制一棵和T完全相同的二叉树
  if(T = NULL)  // 如果是空树，递归结束
  {
    NewT = NULL;
    return;
  }
  else 
  {
    NewT = new BiTNode;
    NewT -> data = T -> data; // 复制根节点
    Copy(T -> lchild, NewT -> lchild);  // 递归复制左子树
    Copy(T -> rchild, NewT -> rchild);  // 递归复制右子树
  }                   // else
}

计算二叉树的深度

如果是空树，则深度为0；

否则，递归计算左子树的深度记为m，递归计算右子树的深度记为n，二叉树的深度则为m与n的较大者加1。

int Depth(BiTree T) 
{// 计算二叉树T的深度
  if(T == NULL) return 0; // 如果是空树，深度为0，递归结束
  else 
  {
    m = Depth(T -> child);  // 递归计算左子树的深度记为m
    n = Depth(T -> rchild); // 递归计算右子树的深度记为n
    if(m > n) return (m + 1); // 二叉树的深度m与n的较大者加1
    else return (n + 1);
  }
}

计算二叉树结点总数

如果是空树，则结点个数为0；

否则，结点个数为左子树的结点个数+右子树的结点个数再+1。

int NodeCount(BiTree T) 
{// 统计二叉树T中结点的个数
  if(T == NULL) return 0; // 如果是空树，则结点个数为0，递归结束
  else return NodeCount(T -> lchild) + NodeCount(T -> rchild) + 1;
    // 否则结点个数为左子树的结点个数+右子树的结点个数+1
}

计算二叉树叶子结点数

如果是空树，则叶子结点个数为0；

否则，为左子树的叶子结点个数+右子树的叶子结点个数。

int LeadCount(BiTree T) {
  if(T == NULL) // 如果是空树返回0
    return 0;
  if(T -> lchild == NULL && T -> rchild == NULL)
    return 1; // 如果是叶子结点返回1
  else 
    return LeafCount(T -> lchild) + LeafCount(T -> rchild);
}

线索二叉树

如果某个结点的左孩子为空，则将空的左孩子指针域改为指向其前驱；如果某结点的右孩子为空，则将空的右孩子指针域改为指向其后继。

这种改变指向的指针称为“线索”。

加上了线索的二叉树称为线索二叉树（Threaded Binary Tree），对二叉树按某种遍历次序使其变为线索二叉树的过程叫线索化。

实例

为区分lrchild和rchild指针到底是指向孩子的指针，还是指向前驱或者后继的指针，对二叉链表中每个结点增设两个标志域ltag和rtag，并约定：

ltag = 0 lchild指向该节点的左孩子

itag = 1 lchild指向该节点的前驱

rtag = 0 rchild指向该节点的右孩子

rtag = 1 rchild指向该节点的后继

这样，结点的结构为：

typedef struct BiThrNode{
  int data;
  int ltag, rtag;
  struct BiThrNode *lchild, rchild;
} BiThrNode, *BiThrTree;

先序线索二叉树

中序线索二叉树

后序线索二叉树

练习

画出以下二叉树对应的中序线索二叉树。

该二叉树中序遍历结果为：H,D,I,B,E,A,F,C,G

增设头结点

ltag = 0，lchild指向根节点；

rtag = 1，rchild指向遍历序列中最后一个结点。

遍历序列中第一个结点的lc域和最后一个结点的rc域都指向头结点。