C++数学与算法系列之排列和组合

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2022-12-19

1. 前言

本文将聊聊排列和组合，排列组合是组合学最基本的概念，在程序运用中也至关重要。

  • 排列问题：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

  • 组合问题：指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不排序。

2.排列

排列的定义：

  • 从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如从1,2,3,4,5中选择 3 个数字进行排列，则认为1,2,3和3,2,1是两种不同的排列。

  • 从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示。

Tips： 排列的英文是 Permutation 或者 Arrangement，故使用 P 或者 A 表示都可以，二者含义一样。

计算从 5个数字中任选择3个数字有多少种排列方式？

解决此问题时，先把问题演变成从 5个数字中选择 5个数字进行排列，其有多少种方案？

  • 第 1 数字可以在 5 个数字中任选择一个，故有 5 种选择。

7.png

  • 因第 1 个数字已经选择了一个，第 2 个数字只能在剩下的数字中选择，也就是只能在剩下的 4 个数字中选择，则有 4 种选择。

8.png

  • 同理，第 3个数字有 3种选择，第 4 个数字只有2种选择，第五个数字只能有1种选择。

  • 所有的排列数是 5*4*3*2*1=120种方案，是不是看起来很熟悉，就是求 5的阶乘。

下面使用穷举法求解上述问题中排列的个数：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) {
	int count=0;
	for(int a=1; a<=5; a++) {
		for(int b=1; b<=5; b++) {
			if(b==a)continue;
			for(int c=1; c<=5; c++) {
				if(c==b || c==a )continue;
				for(int d=1; d<=5; d++) {
					if(d==a || d==b || d==c)continue;
					for(int e=1; e<=5; e++) {
						if(e==d || e==c || e==b || e==a) continue;
						count++;
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<count<<endl;
	return 0;
}
//输出结果：120

既然是求 5 的阶乘，可以简化程序。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) {
	int num=5;
	int result=1;
	for(int i=1; i<=num; i++)
		result*=i;
	cout<<result;
	return 0;
}
// 120

如果不是选择 5 个数字，而是选择 4个数字？

  • 则第 1 个数字有5种选择，第 2 个数字有4种选择，第 3 个数字有3种选择，第 4个数字有2种选择，最终可选择的个数为5*4*3*2=120，和前面相比较，即为 5的阶乘除以 1的阶乘。

如果不是选择 4 个数字，而是选择 3个数字？

  • 则第 1 个数字有5种选择，第 2 个数字有4种选择，第 3 个数字有3种选择，最终可选择的个数为5*4*3=60。即为5!除以2!的阶乘。

可推导出从 n 个数字中选择m个数字的排列个数的公式：

2.jpg

从推论可知，求A（n,m）的排列个数可以通过乘法原理求解：

  • 计算排列的个数，先确定高位的可能个数，再逐一确认次高位可能个数，一直到最低位的可能个数……完成它需要分成m个步骤。
  • 最高位有 n 种方法，次高位有n-1种方法……最低位有 n-m+1种方法。则最终的排列个数有：n*(n-1)*(n-2)……(n-m-1)种。

利用A(n,m)排列公式求解个数的算法：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
*求阶乘函数
*/
int getJc(int num) {
	int res=1;
	for(int i=1; i<=num; i++)
		res*=i;
	return res;
}
/*
*求A(n,m)的排列个数
*/
int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	int m;
	int count=0;
	cin>>n;
	do {
		cout<<"m小于n:"<<endl;
		cin>>m;
	} while(m>n);
	//求 n 的阶乘
	int nJc=getJc(n);

	//求 n-m 的阶乘
	int nmJc=1;
	//如果 n 等于 m
	if(n==m)
		nmJc==1;
	else {
		nmJc=getJc(n-m);
	}
	count=nJc/nmJc;
	cout<<count;
	return 0;
}

输出结果：

9.png

3. 组合

组合的定义：

  • 从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
  • 从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

Tips： C是单词Combination 的缩写。

组合与排列的区别：

组合对于找出来的数字的顺序没有要求，也就是说1,2,3和3,2,1只能算一种组合方案。

如何统计组合的个数？

可以根据排列公式推导。

如从 1,2,3选择 2个数字进行组合。先套用排列计算公式，共有 3*2=6种排列方案。即 [1,2]、[2,1]、[1,3]、[3,1]、[2,3]、[3,2] 6 种方案。求组合个数，则需要减去数字一样、顺序不一样重复方案，最终结果为 3。

求解组合的个数可以先求解排列个数后，再排除重复的部分**。问题转为具体重复的会有多少？**

  • 如果从 4 个数字中选择 3 个数字，则任意选择的 3个数字会有 3!=6 种排列方案，但是，对于组合而言，是一种方案。

10.png

  • 同时，从5个数字中选择 4个数字排列，任意4个数字会有 4! 种排列。或者说从 n 个数字中任意选择 m 个数字，则m个数字的排列有m!种，对于组合而言，这 m！个排列数只计数 1 次。
  • 所以，求解n个数字中选择m个数字的组合数可以先计算排列数后，再在结果上除以 m!(m的阶乘) 。

2.png

在程序中套用上述公式，可以求解出 C(3,2)有 3 种组合数。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
*求阶乘函数
*/
int getJc(int num) {
	int res=1;
	for(int i=1; i<=num; i++)
		res*=i;
	return res;
}
/*
*求C(n,m)的组合个数
*/
int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	int m;
	int count=0;
	cin>>n;
	do {
		cout<<"m小于n:"<<endl;
		cin>>m;
	} while(m>n);
	//求 n 的阶乘
	int nJc=getJc(n);

	//求 n-m 的阶乘
	int nmJc=1;
	//如果 n 等于 m
	if(n==m)
		nmJc==1;
	else {
		nmJc=getJc(n-m);
	}
	//求 m 阶乘
	int mJc=m==0?1:getJc(m);
	count=nJc/(mJc*nmJc);
	cout<<count;
	return 0;
}

输出结果：

11.png

在上述组合公式的基础上，组合公式还可以发生如魔术般的变化，也许这就是数学的神奇之处。

3.1 运算法则一

如下图所示：

3.jpg

通过一个案例求证：假设有 4 名学生，选择 3 名学生打扫卫生，有多少种选择？

显然，这是一个组合问题，没有顺序的要求，即C(4,3)。有 2 种思路求解：

  • 从 4 个学生中选择 3名学生打扫卫生。套用组合的基础公式可知结果=4!/ 3!*1!=4种选择。如下图所示，可以理解为是正向选择。

3.png

  • 另一种方案，称为反向选择，因为有 4 个学生，每次选择一个学生回家，剩下的搞卫生，同样满足要求。相当于 4 个学生里面选择 1 名学生。结果 4!/1!*3!=4。

4.png

组合公式的如上运算法则很容易理解。根据下面的组合公式，可知，从 n 中选择 m 和 从 n 中选择 n-m的最终表达式是一样的。

2.png

编程实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
*求阶乘函数省略
*/

/*
* 求C(n,m)=C(n,n-m)的组合个数相同
*/
int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	int m;
	int count=0;
	int count_=0;
	cin>>n;
	do {
		cout<<"m小于n:"<<endl;
		cin>>m;
	} while(m>n);
	//求 n 的阶乘
	int nJc=getJc(n);
	//求 m！阶乘
	int mJc=getJc(m);
	//求 n-m 阶乘
	int nmJc=1;
	if (n!=m)
		nmJc=getJc(n-m);
	//求 C(n,m)的组合数
	count=nJc /  (mJc*nmJc);
	//求 C(n,n-m)的阶乘，根据公式可知，分母仅是交换了相乘两数的位置
	count_=nJc / (nmJc* mJc);
	if(count==count_) {
		//验证通过
		cout<<"OK"<<endl;
	} else {
		cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}

3.2 运算法则二

如下图所示，当从 n中取m-1和 m个数字得到的组合总数，可归纳为求解 n+1中取 m个数字的组合数。

4.jpg

直接套用公式验证 C(3,1)+C(3,2) 和 C(4,2)的结果：

  • 3 个数字选择 1 个数字进行组合，结果=3!/1!*2!=3。
  • 3个数字选择2个数字进行组合，结果=3!/2!*1!=3。
  • 4个数字选择2个数字进行组合，结果=4!/2!*2!=6。

结论是： C(3,1)+C(3,2)=C(4,2)。

Tips： m 和m-1必须连续！如C(4,2)+C(4,4)并不等于C(5,4)。 C(7,3)+C(7,4)=C(8,4) 是成立的。

根据场景验证：

  • 如果有 4 名学生，需要 2 名学生留下来搞卫生，显然，可选择方案有 C(4,2)=4!/2!*2!=6种方案。

5.png

  • 换一种理解，如果学号为 1 的学生必须留下来，显然，只需要在剩下的 3 名学生中选择 1 名学生留下来。如果学号为 1的学生不留下来，则需要从剩下的 3 名学生中选择 2 名。

6.png

严格的证明，可以由原始公式直接推导。如下图所示：

12.png

编程实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
*求阶乘函数省略……
*/

/*
* 求证 C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)
*/
int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	int m;
	int count=0;
	int count_=0;
	cin>>n;
	do {
		cout<<"m小于n:"<<endl;
		cin>>m;
	} while(m>n || m<1) ;
	//求 n 的阶乘
	int nJc=getJc(n);
	//求 m！阶乘
	int mJc=getJc(m);
	//求 n-m 阶乘
	int nmJc=1;
	if (n!=m)
		nmJc=getJc(n-m);
	//求 m-1 的阶乘
	int moneJc= getJc(m-1);
	//求 n-(m-1) 的阶乘
	int nmoneJc= getJc(n-m+1 );
	//求 n+1-m 阶乘
	int nonemJc= getJc( n+1-m );
	//求C(n,m)+C(n,m-1) 的组合数
	count=nJc /  (mJc*nmJc) + nJc / ( moneJc * nmoneJc ) ;
	//求 C(n+1,m)的阶乘 根据公式可知，分母仅是交换了相乘两数的位置
	count_= nJc*(n+1) / (mJc* nonemJc);
	if(count==count_) {
		//验证通过
		cout<<"OK"<<endl;
	} else {
		cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}

3.3 运算法则三

如下图所示：

5.jpg

先直接套用公式验证 C(2,0)+C(2,1)+C(2,2) 的结果。

  • C(2,0) 2 个数字中选择 0个，结果为 1。
  • C(2,1) 2个数字中选择 1个，结果为 2!/1!*1!=2。
  • C(2,2) 2个数字中选择 2个，结果为 1。
  • 所以 C(2,0)+C(2,1)+C(2,2)=4 和 2<sup>2</sup> 结果一样。但这只是个例，不足以证明普适性。

用另一种方式验证公式的合理性：假设现有一个箱子，里面有 2 个苹果，请问选择任意个苹果数的方案有多少种？

方案一：你的角度。

  • 不选择(C(2,0))，可以认为是 1 种方案。
  • 选择 1 个苹果(C(2,1))，可以在 2 个苹果中任一个，则有 2 种方案。
  • 选择 2 个苹果(C(2,2))，只有 1 种方案。
  • C(2,0)+C(2,1)+C(2,2)=4。

方案二：苹果的角度。

  • 每个苹果都是独立的个体，可以出来，也可以不出来。所以每个苹果都有 2 种选择。
  • 箱子中现在有 2 个苹果，根据乘法原理，也就是 2 个 2 相乘（ 2 的 2 次方 ）。
  • 所以 2<sup>2</sup>=4。如果有 3 个苹果，则共有 2<sup>3</sup> 种方案。

编程验证：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
*求阶乘函数省略
*/

/*
* 求证 C(n,0)+C(n,1)+C(n,n)=2^n
*/
int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	cin>>n;
	//当不取，或取全部时，组合个数都为 1
	int s=2;
	//求 n 阶乘
	int nJc =getJc(n);
	for(int i=1; i<n; i++) {
		//求 i 阶乘
		int iJc=getJc(i);
		//求 n -i 阶乘
		int niJc=getJc(n-i);
		s+= nJc / (iJc*niJc );
	}
	//求 2 的 n 次方
	int res= pow(2,n);
	if(res==s) {
		cout<<"OK"<<endl;
	} else {
		cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}
//输入 2 
//输出 OK

3.4 运算法则四

如下图所示：

6.jpg

Tips： 组合公式的上面的数字是相同的，下面的数字必须连续。

可以用选择值日生的例子推导公式的正确。如果需要在学号为 1、2、3、4、5 的这 5 名学生中选择 3 名学生留下来当值日生，且必须在选择出来的 3名学生中指定一人为组长。则选择方案可以由以下的分解方式组成：

  • 学号为 1学生当组长，则只需要在剩下的 4名学生中选择2名学生，即 C(4,2)。
  • 学号为 2学生当组长，则只需要在剩下的 3名学生中选择2名学生，即 C(3,2)。
  • 学号为 3学生当组长，则只需要在剩下的 2名学生中选择2名学生，即 C(2,2)。
  • 学号 4,5当组长，剩下人数不够凑成 3 个。没得选择。
  • 故 C(5,3)=C(4,2)+C(3,2)+C(2,2)。

3.5 运算法则五

如下图所示：

7.jpg

还是以上面的值日生为例，现在有 7 名学生，4 男 3 女，需要从 7 人中选择 3 人留下来值日，其组合数为 C(7,3)，在所有组合数中一定出现如下的搭配：

  • 没有男生 C(4,0)，则选择女生(3,3)，即选择方案有 C(4,0)*C(3,3)。
  • 选择 1 名男 C(4,1)，则选择女生 C(3,2)，选择出来的男生可以和选择出来的任一组女生搭配，显然方案数是 C(4,1)*C(3,2)。
  • 选择 2 名男 C(4,2)，则选择女生 C(3,1)，共有 C(4,2)*C(3,1)种方案。
  • 选择 3 名男 C(4,3)，则选择女生 C(3,0)，共有 C(4,3)*C(3,0)种方案。

4. 总结

排列和组合公式是在数学上已经验证过的公式，本文中所提供的代码，都是使用此公式，解决具体的问题。

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