抱佛脚Day05

文章目录

• BIT的结构
• BIT的求和
• BIT的值的更新
• BIT的复杂度
• BIT的实现

树状数组（Binary Indexed Tree, BIT）是能够完成下述操作的数据结构。
给一个初始值全为0的数列$a_1,a_2,\cdots ,a_i$

• 给定$i$，计算$a_1+a_2+\cdots +a_i$
• 给定$i$和$x$，计算$a_i=a_i+x$

BIT的结构

BIT使用数组维护下图所示的部分和

也就是把线段树中不需要的节点去掉之后，再把剩下的节点对应到数组中。让我们对比每个节点对应的区间的长度和节点编号的二进制表示。以1结尾的1,3,5,7的长度是1，最后有1个0的2,6的长度是2，最后有2个0的4的长度是4⋯⋯这样，编号的二进制表示就能够和区间非常容易地对应起来。利用这个性质，BIT可以通过非常简单的位运算实现。

BIT的求和

计算前$i$项的和需要从$i$开始，不断把当前位置$i$的值加到结果中，并从$i$中减去$i$的二进制最低非0位对应的幂直到$i$变成0为止。二进制的最后一个1可以通过$i\&(-i)$到。

BIT的值的更新

使第$i$项的值增加$x$要从$i$开始，不断把当前位置$i$的值增加$x$，并把$i$的二进制最低非0位对应的幂加到$i$上。

BIT的复杂度

$O(\log n)$

BIT的实现

注意：$i\&(-i)=i\&(i-1)$

class BinaryIndexedTree(object):
    def __init__(self, nums):
        self.nums = nums
        self.n = len(nums)
        self.tree = [0] * (self.n + 1)
        for i in range(1, len(self.tree)):
            self.tree[i] = nums[i - 1]
            index = i - 1
            while index > i - self.lowbit(i):
                self.tree[i] += self.tree[index]
                index -= self.lowbit(index)
            
    def lowbit(self, x):
        return x & (-x)

    def update(self, index, val):
        diff = val - self.nums[index]
        self.nums[index] = val
        index += 1
        while index < self.n + 1:
            self.tree[index] += diff
            index += self.lowbit(index)

    def getSum(self, index):
        ans = 0
        index += 1
        while index >= 1:
            ans += self.tree[index]
            index -= self.lowbit(index)
        return ans

    def sumRange(self, left, right):
        return self.getSum(right) - self.getSum(left - 1)

if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 7, 3, 0, 5, 8, 3, 2, 6, 2, 1, 1, 4, 5]
    bit = BinaryIndexedTree(nums)
    print(bit.tree)
    print(bit.getSum(12)) 
    bit.update(4, 2)
    print(bit.tree)
    print(bit.getSum(12)) 
    print(bit.sumRange(1, 12)) 

另一种写法（更好理解）

class BinaryIndexedTree(object):
    def __init__(self, nums):
        self.nums = nums
        self.n = len(nums) + 1
        self.tree = [0] * self.n
        for i in range(1, self.n):
            self.add(i, nums[i - 1])
        
    def lowbit(self, x):
        return x & (-x)

    def add(self, index, val):
        while index < self.n:
            self.tree[index] += val
            index += self.lowbit(index)

    def update(self, index, val):
        self.add(index + 1, val - self.nums[index])
        self.nums[index] = val

    def getSum(self, index):
        ans = 0
        index += 1
        while index >= 1:
            ans += self.tree[index]
            index -= self.lowbit(index)
        return ans
        
    def sumRange(self, left, right):
        return self.getSum(right) - self.getSum(left - 1)

if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 7, 3, 0, 5, 8, 3, 2, 6, 2, 1, 1, 4, 5]
    bit = BinaryIndexedTree(nums)
    print(bit.getSum(12)) # 43
    print(bit.sumRange(3, 11)) # 31
    bit.update(4, 2)
    print(bit.getSum(12)) # 40
    print(bit.sumRange(1, 12)) # 39