问题形式

SciPy能够解决有约束性非线性最小二乘法问题在这里插入图片描述
其中 $f (x)$ 是残值， $ρ (.)$ 是损失函数。一个线性损失函数给出了一个标准的最小二乘法问题。此外，允许对一些 $x_j$ 进行上下限的约束。所有针对最小二乘法的方法都利用了一个叫做雅可比的偏导矩阵。强烈建议以解析式的方式计算这个矩阵，并将其传递给最小二乘法，否则，它将通过有限差分来估计，这需要大量的额外时间，而且在困难情况下可能非常不准确。

一个例子

考虑如下式子(酶促反应)：
在这里插入图片描述
$y_i$ 是测量值， $u_i$ 是独立变量。待拟合的未知系数为 $x=(x_0,x_1,x_2,x_3)^T$
建议先计算雅可比矩阵：

为了找到一个有物理意义的解决方案，避免潜在的除以零问题的出现，并确保收敛到全局最小值，我们施加了一些限制条件： $0≤x_j≤100，j=0,1,2,3$ .
下面的代码实现了最小二乘法的估计，最后绘制了原始数据和拟合模型函数。

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
def model(x, u):
    return x[0] * (u ** 2 + x[1] * u) / (u ** 2 + x[2] * u + x[3])

def fun(x, u, y):
    return model(x, u) - y

def jac(x, u, y):
    J = np.empty((u.size, x.size))
    den = u ** 2 + x[2] * u + x[3]
    num = u ** 2 + x[1] * u
    J[:, 0] = num / den
    J[:, 1] = x[0] * u / den
    J[:, 2] = -x[0] * num * u / den ** 2
    J[:, 3] = -x[0] * num / den ** 2
    return J

#数据如下
u = np.array([4.0, 2.0, 1.0, 5.0e-1, 2.5e-1, 1.67e-1, 1.25e-1, 1.0e-1,
              8.33e-2, 7.14e-2, 6.25e-2])
y = np.array([1.957e-1, 1.947e-1, 1.735e-1, 1.6e-1, 8.44e-2, 6.27e-2,
              4.56e-2, 3.42e-2, 3.23e-2, 2.35e-2, 2.46e-2])

#设置初始值
x0 = np.array([2.5, 3.9, 4.15, 3.9])
res = least_squares(fun, x0, jac=jac, bounds=(0, 100), args=(u, y), verbose=1)
print(res.x)

其结果为：

`ftol` termination condition is satisfied.
Function evaluations 131, initial cost 4.4383e+00, final cost 1.5375e-04, first-order optimality 4.52e-08.
[0.192806   0.19130332 0.12306046 0.13607205]

绘制拟合图像

import matplotlib.pyplot as plt
u_test = np.linspace(0, 5)
y_test = model(res.x, u_test)
plt.plot(u, y, 'o', markersize=4, label='data')
plt.plot(u_test, y_test, label='fitted model')
plt.xlabel("u")
plt.ylabel("y")
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

在这里插入图片描述