leetcode ： 62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

思路1：递归

每次计算向右和向下的路径和，返回。

经过测试，超时，因为计算的很多重复的点。

class Solution {
    private int m;
    private int n;
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        this.m = m;
        this.n = n;
        return fun(1,1);
    }
    public int fun(int i, int j){
        if(i == m && j == n){
            return 1;
        }
        //向右
        int right = 0;
        if(j < n){
            right = fun(i,j+1);
        }
        //向下
        int down = 0;
        if(i < m){
            down = fun(i+1,j);
        }
        return right+down;
    }
}//超时

思路2：动态规划(从右下角往左上角递归)

思路1 的修改，举例说明，要计算P(0,0) = P(1,0)+P(0,1)。我们计算P(1,0)时，需要计算P(1,1)。计算P(0,1)时，也需要计算P(1,1)。导致计算重复，思路1超时。

可以使用动态规划的思路，将递归时计算的P(i,j)保存，如果这个值已经计算出来，那么直接拿出来，如果没计算，再递归，这样每一个位置只会计算一次。

class Solution {
    //m ，n表示终点的下标
    private int m;
    private int n;
    private int[][] dp;
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        this.m = m-1;
        this.n = n-1;
        dp = new int[m][n];
        return fun(0,0);
    }
    public int fun(int i, int j){
        if(i == m && j == n){
            dp[m][n] = 1;
            return 1;
        }
        //向右  如果i,j+1已经计算过 就直接返回
        int right = 0;
        if(j < n){
            right = dp[i][j+1] == 0 ? fun(i,j+1) : dp[i][j+1];
        }
        //向下
        int down = 0;
        if(i < m){
            down = dp[i+1][j] == 0 ? fun(i+1,j) : dp[i+1][j];
        }
        dp[i][j] = right+down;
        return dp[i][j];
    }
}
解答成功:
            执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
            内存消耗:38 MB,击败了30.59% 的Java用户

思路3: 动态规划(从左上角往右上角计算)

参考leetcode官方：计算0，0点每一个点的路径和。

分析：P(i,j) = P（i-1,j) + P(i,j-1)

从0,0点开始计算，但是i-1和j-1可能会越界。
从0,0开始到第一行的任意一个点的路径只有1个，同理，到第一列的任意一个点路径只有1个。这样就可以解决越界问题。

class Solution {
    //m ，n表示终点的下标
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        //第一列
        for(int i = 0 ; i < m;i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        //第一行
        for(int j = 0 ; j < n;j++){
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i = 1;i < m;i++){
            for(int j = 1;j < n;j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

}
解答成功:
            执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
            内存消耗:38.3 MB,击败了10.63% 的Java用户

思路4：组合数学

从左上角到右下角的过程中，我们需要移动 m+n−2 次，其中有 m−1 次向下移动，n−1 次向右移动。因此路径的总数，就等于从 m+n−2 次移动中选择 m−1 次向下移动的方案数，即组合数：C(m-1,m+n-2) = (m+n-2)(m+n-1).....n/(m-1)(m-2)....1

public int uniquePaths(int m, int n) {
    long ans = 1;
    int i = n;
    int j = 1;
    //注意 ans*i可能会越界 需要long解决越界问题
    while (j < m){
        ans = ans * i / j;
        i++;
        j++;
    }
    return (int)ans;