两个重要极限

第一个重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{sinx}=1$$

第二个重要极限

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

等价无穷小

定义，当$f(x)\to 0,g(x)\to 0$时，如果${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，那么说g(x)和f(x)为等价无穷小，记作f(x)~g(x)

1. ln(1+x)~x

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }ln(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=ln(\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x)=lne=1$$

2.e^x-1~x

令$e^x-1=t$，则x=ln(1+t)。因为$x\to 0$,所以$t\to 0$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{ln(1+t)}=1$$

3. a^x-1~xlna

预备知识
对数函数不好理解，转为指数函数就好了
假设${\log }_a(t+1)=m，\ln a=n$，那么有：
$a^m=t+1,e^n=a$，所以，$(e^n{)}^m=t+1$，即:$e^{mn}=t+1=>m\ast n=ln(t+1)$
所以有结论：${\log }_a(t+1)\ast \ln a=m\ast n=\ln (t+1)$

正式推导：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x\ln a}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{{\log }_a(t+1)\ln a}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (t+1)}=1$$

$\sqrt[n]{1+x}-1$ ~ $\frac{1}{n}x$

预备知识：
$a^n-1=a^n+a^{n-1}+a^{n-2}+...+a-(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a)-1$
$=a^n+a^{n-1}+a^{n-2}+...+a-(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
$=a\ast (a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)-(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
$=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
正式推导
${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$
$={\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{x}{n}}$

将 $(1+x{)}^{\frac{1}{n}}$看作预备知识中的a,则
原式=${\lim }_{x\to 0}\frac{n\ast (1+x-1)}{x\ast ((1+x{)}^{\frac{n-1}{n}}+(1+x{)}^{\frac{n-2}{n}}+...+(1+x{)}^{\frac{1}{n}}+1)}$

$={\lim }_{x\to 0}\frac{nx}{x\ast (n-1+1)}=1$

求导法则

求极限时，形式为 $\frac{0}{0}$ 型时，可以根据上述的等价无穷小进行替换

$si{n}^{\prime }(x)=cosx$

$\frac{x+t-x}{2}$
预备知识：
$sina+sinb=sin(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2})+sin(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2})$
$=sin(\frac{a+b}{2})\ast cos(\frac{a-b}{2})+cos(\frac{a+b}{2})\ast sin(\frac{a-b}{2})+sin(\frac{a+b}{2})\ast cos(\frac{a-b}{2})-cos(\frac{a+b}{2})\ast sin(\frac{a-b}{2})$
$=2sin(\frac{a+b}{2})\ast cos(\frac{a-b}{2})$

求导推导：
$si{n}^{\prime }x={\lim }_{t\to 0}\frac{sin(x+t)-sin(x)}{t}={\lim }_{t\to 0}\frac{sin(x+t)+sin(-x)}{t}$

$={\lim }_{t\to 0}\frac{2sin(\frac{x+t-x}{2})\ast cos(\frac{x+t+x}{2})}{t}={\lim }_{t\to 0}\frac{2sin\frac{t}{2}cos\frac{2x+t}{2}}{t}$

$={\lim }_{t\to 0}\frac{t\ast cos(x+\frac{t}{2})}{t}=cosx$