算法导论练习12.4-5-CFANZ编程社区

考虑RANDOMIZED-QUICKSORT操作在n个互不相同的输入数据的序列上。证明：对于任何常数k>0，n！种输入排列除了其中 $O(1/n^{k})$ 种之外，运行时间都为 O(nlgn) 。

Consider RANDOMIZED-QUICKSORT operating on a sequence of n distinct input numbers. Prove that for any constant k > 0, all but $O(1/n^{k})$ of the n! input permutations yield an O(nlgn) running time.

通过与英文原版对比，不难发现中文翻译有一定问题，题中 $O(1/n^{k})$ 应为占n！的比例而非数量。

考虑令e为数组中的任一元素， $n_{j}$ 为第次划分后，包含元素e的子数组大小，其中 $j \ge1$ ， $n_{0} = n$

引理： $Pr\{n_{j+1} \ge(t-1)n_{j}/t\} \le 2/t$

证明：这个还是比较好理解的，考虑仅当划分选取的主元是数组中较小或较大的部分时（两部分概率均为1/t）， $n_{j+1}\ge(t-1)n_{j}/t$ 才能实现，因此引理成立

接下来对数组中的元素e，对包含e的数组大小进行分析。若 $n_j\le(t-1)n_{j-1}/t$ 则称第次划分是成功的。因 $n_{0} = n$ ，在p次成功后，包含元素e的数组大小不大于 $(\frac{t-1}{t})^p \cdot n$ 。不难看出， $p = log_{\frac{t-1}{t}}\frac{1}{n} = log_{\frac{t}{t-1}}n$ 时，数组规模减小到1，排序完成（实际上 $p > log_{\frac{t}{t-2}} \frac{n}{2}$ 时即满足排序）。

结合引理我们知道，成功的概率至少为 1-2/t ，不成功的概率至多为 2/t 。

考虑二项分布，不妨先假定次数为a，不成功次数随机变量为X，根据书中练习5-6可知：

$Pr\{X \ge r + \frac{2a}{t}\} \le e^{-r^{2}/2a}$

令成功次数随机变量为Y，上式等价于：

$Pr\{Y \le \frac{t - 2}{t}a - r\} \le e^{-r^2/2a}$

代入之前的 $p = log_{\frac{t-1}{t}}\frac{1}{n} = log_{\frac{t}{t-1}}n$ ，令 $\frac{t-2}{t}a - r = log_{\frac{t}{t-1}}n$ ，得到：

$Pr\{Y \le log_{\frac{t}{t-1}}n\} \le e^{-(\frac{t-2}{t})^{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{t-2}{t}\cdot log_{\frac{t}{t-1}}n - (log_{\frac{t}{t-1}}n)^{2}/2a}$

此即经过a次划分后数组完成排序的概率，令 $a = slog_{\frac{t}{t-1}}n$ ，不等式右边指数部分化为：

$[-(\frac{t-2}{t})^{2} \cdot \frac{s}{2} + \frac{t-2}{t} - \frac{1}{2s}]\cdot log_{\frac{t}{t-1}}n$

该项在s趋近于+∞时趋近于-无穷，由此可知可以通过在 $O(log_{\frac{t}{t-1}}n)$ ，即 O(lgn) 复杂度上调节系数，得到的划分次数能够使排序完成概率以任意程度趋近于1，加上每次划分消耗 O(n) ，于是命题得证。

参考文献

[1] 霍红卫, 许进. 快速排序算法研究[J]. 微电子学与计算机, 2002(6): 6-9.