【数论】——高斯列主元消元法

文章目录

• 【数论】——高斯列主元消元法
• • 初等行变换
  • 消元思路
  • 代码

初等行变换

1. 将某一行乘以一个非零数
2. 交换某两行
3. 将某一行的k倍加到另一行

消元思路

1. 从左往右，找到第一列系数中，绝对值最大系数所在行
2. 将该行每一个系数除以该行第一个非零系数
3. 将该行后的所有行的该元素消去
4. 重复1-3操作直到最后一行
5. 从最后一行向上一次求出对应$x_i$的值

代码

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;

int n;
double g[N][N];

int gauss_solve() // 答案存在g[i][n]中，0 <= i < n
{
    int c, k = 0;
    for (c = 0;c < n; c++) {
        int t = k;
        for (int i = k; i < n; i++) // 找绝对值最大的行
            if (fabs(g[i][c]) > fabs(g[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(g[t][c]) < eps)//如果为0跳过
            continue;

        for (int i = c; i <= n; i++)
            swap(g[t][i], g[k][i]); // 将绝对值换到最大的未处理的最顶端
        for (int i = n; i >= c; i--)
            g[k][i] /= g[k][c]; // 将当前行的首位变成1
        for (int i = k + 1; i < n; i++) // 用当前行将下面所有的列消成0
            if (fabs(g[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j--)
                    g[i][j] -= g[k][j] * g[i][c];

        k++;
    }

    if (k < n) {
        for (int i = k; i < n; i++)
            if (fabs(g[i][n]) > eps)
                return 2; // 无解
        return 1; // 有无穷多组解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            g[i][n] -= g[i][j] * g[j][n];

    return 0; // 有唯一解
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n + 1; j++)
            scanf("%lf", &g[i][j]);

    int t = gauss();
    if (t == 2)
        puts("No solution");
    else if (t == 1)
        puts("Infinite group solutions");
    else {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (fabs(g[i][n]) < eps)
                g[i][n] = 0; // 去掉输出 -0.00 的情况
            printf("%.2lf\n", g[i][n]);
        }
    }

    return 0;
}