一、二分查找

当序列分布较为均匀时效率高

int bin_search(vector<int> &nums, int key){
    int low = 0;
    int high = nums.size() - 1;
    while(low <= high){
        int mid = (low + high) / 2;
        if(nums[mid] < key){
            low = mid + 1;
        }else if(nums[mid] > key){
            high = mid - 1;
        }else{
            return mid; 
        }
    }
    return -1;
}

二、插值查找

当查找的序列非常极端时效率高，比如在序列：1，2，4，6，7，9，11，12，13，999，1000中查找999，若是用二分查找效率就很低了，需要查找3次。若用插值查找就只需要查找1次就行了。当数据非常大且极端时，插值查找的效率就体现得非常明显

int insert_search(vector<int> &nums, int key){
    int low = 0;
    int high = nums.size() - 1;
    while(low <= high){
        //因为除法会向下取整，所以mid的计算结果不会越界
        int mid = low + (high-low)*(key-nums[low])/(nums[high]-nums[low]);
        if(nums[mid] < key){
            low = mid + 1;
        }else if(nums[mid] > key){
            high = mid - 1;
        }else{
            return mid; 
        }
    }
    return -1;
}

三、分块查找

在块内无序，块间有序的顺序表中查找元素。

首先需要建立索引表，索引表的每个元素记录每个分块的最大关键字和分块的存储区间。索引表元素数据结构如下：

typedef struct{
    ElemType maxValue;//块内最大值
    int low;
    int high;
}Index;

分块查找算法过程：

1. 在索引表中确定待查值所属的分块（可顺序，可折半）
2. 在块内顺序查找

注：对索引表进行折半查找时，若索引表中不包含目标关键字，则折半查找最终停在，要在所指分块中查找

当对顺序表中的元素进行插入或删除的时候，除了顺序表中元素都要移动以外，还需要修改索引表元素的数据。效率太低，一般的我们可以改进为链式存储，如下：

插入元素时，只需要挂在最后即可。删除元素时，修改指针即可。

四、B树

基本概念：

1. 终端结点：最下层含有实际数据的结点
2. 叶子结点：最下层表示空值的结点
3. B树的阶：B树中所有结点的孩子个数的最大值称为B树的阶

一棵m阶B树或为B树，或为满足以下特性的m叉树：

1. 树中每个结点最多有棵子树，即至多含有关键字
2. 若根结点不是终端结点，至少有两棵子树（包含在绝对平衡里）
3. 除了根结点外的所有非叶结点至少有棵子树，即至少含有个关键字。（每个结点尽可能存满，树不会太深）
4. 所有的叶结点都在同一层次上，这些结点都代表空
5. 对于任何一个非叶结点，左右子树高度相同，即绝对平衡
6. 对于任何一个非叶结点中的任何一个元素，左指针所指块包含元素<该元素<右指针所指块包含元素，类似于排序树

5叉排序树结点的定义

struct Node{
    ElemType keys[4];         //最多4个关键字
    struct Node* child[5];    //最多5个孩子
    int high;                 //结点中关键字数量
};

含有n个关键字的m叉B树，最小高度和最大高度

最小高度——让每个结点尽可能满，有个关键字，个分叉，则有：
，因此

最大高度——让每层分叉尽可能少，即根结点只有2个分叉，其他结点只有个分叉，每层结点至少有：第一层1、第二层2、第三层…第层。则第层共有叶子结点（失败结点）：

由于个关键字的B树必有个结点，则,即

B树的插入操作

1.结点分裂

在插入后，若导致原结点关键字数超过上限，则从中间位置()将其中的关键字分为两部分，左部分包含关键字放在原结点中，右部分关键字放在新结点中，中间结点成为两者的父结点，分裂结果如下：

插入88、90、99

接着分裂

插入70、83、87

接着分裂

插入92、93、94，分裂完成后

插入73、74、75

分裂终端结点

此时可以看到根结点关键字太多了，需要分裂，按照同样的道理，分裂结果如下：

对于分裂操作的总结：

1. 对m阶B树，除根结点外，结点关键字个数
2. 对于所有的结点，左子树 < 根结点 < 右子树
4. 新的元素一定插入到终端结点

B树的删除操作

现有如下的B树：

删除60后：

注：若待删除的关键字处于终端结点，则直接删除该关键字。同时还需检查结点关键字个数是否满足

删除80，此时根结点为空，可以利用当前关键字的直接前驱和直接后继填补根结点

直接前驱： 当前关键字左子树“最右下”的元素，即左子树最大的关键字
直接后继： 当前关键字右子树“最左下”的元素，即右子树最小的关键字

下面利用直接后继填补根结点

注：删除非终端结点80的操作，转换成了删除终端结点80的操作。故对非终端结点关键字的删除，必然可以抓换为对终端结点关键字的删除接着，我们删除关键字38，删除结果如下：

可以看到，就是直接把38干掉，70提上去，49填下来，分别补到对应的位置

注:当右兄弟有充足的关键字时，用当前结点的后继（49），和后继的后继（70） 来填补

接下来，删除90，删除结果如下：

同理，就是直接把90干掉，88填下来，87提上去，分别补到对应的位置

注:当左兄弟有充足的关键字时，用当前结点的前驱（88），和前驱的前驱（87） 来填补

接着删除49，先干掉49，结果如下：

此时，对于最坐下的结点，只有25这一个关键字，而右兄弟又没有多余的关键字借给他。现在，我们将关键字25、70、71、72合并，结果如下：

然而，此时关键字73所在的结点不符合B树的特性，我们将73、82、87、93合并，结果如下：

注：兄弟不够借时，则将关键字删除后的结点与左（或右）兄弟结点，以及父结点中的关键字合并

总结：

五、B+树

B树与B+树对比

而B树中，所有结点的关键字 互不重复

总结：