(向量空间)

数学

线性代数

向量空间

基本概念

若 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是n维向量空间 $R^n$ 中的线性无关的有序向量组，则任一向量 $\alpha \in R^n$ 均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 线性表示，记作：

$$ \alpha = a_1\xi_1 + a_2\xi_2 + \cdots + a_n\xi_n $$

称有序向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $R^n$ 的一个基，基向量的个数n称为向量空间的维数，而 $[a_1, a_2, \cdots, a_n]([a_1, a_2, \cdots, a_n]^T)$ 称为向量 $\alpha$ 在基 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 下的坐标，或称为 $\alpha$ 的坐标行（列）向量.

基变换、坐标变换

定理8 若 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 和 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $R^n$ 中的两个基，且有关系：

$$ [\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n] = [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n] \begin{align} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} {=} [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n] C \end{align} $$

上(1) 式称为由基 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的基变换公式，矩阵 $C$ 称为由基 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 到基 $eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的过渡矩阵，$C$ 的第 $i$ 列即是 $\xi_i$ 在基 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 下的坐标，且过渡矩阵 $C$ 是可逆矩阵

定理9 设 $\alpha$ 在基 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 和基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的坐标分别是：$x = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T, y = [y_1, y_2, \cdots, y_n]^T$，即

$$ \alpha = [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]x = [\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n]y. $$

又由基 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的过渡矩阵为 $C$ ，即：

$$ [\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n] = [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]C $$

则：

$$ \alpha = [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]x = [\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n]y = [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]Cy \\ \ \begin{align} x = Cy \ 或 \ y = C^{-1}x \end{align} $$

（2）式称为坐标变换公式.

英语

每日一句

The Conservatives' planning reform explicitly gives rural development priority over conservation, even authorising 'off-plan' building where local people might object.(2016, Reading Comprehension, Part A Text 2)

词汇

explicitly: adv. 明确地，清楚明白地 explicit: adj. 明确的，清楚明白的；直率的；详述的 priority: n. 优先，优先权；优先考虑的事 conservation: n. 保护 conservative:

• adj. 保守的，守旧的
• n. 保守派，守旧者

authorise: v. 批准，授权 authorised: adj. 经批准的，经授权的 authorisation: n. 批准，授权

第一步：找谓语

The Conservatives' planning reform explicitly ==gives== rural development priority over conservation, even authorising 'off-plan' building where local people ==might object==.

第二步：断句

原句中存在2处谓语，包含2件事，其谓语分别分布在以下位置：

• gives 为主句谓语
• might object 为 where 引导的定语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语可以将原句断开为以下分句：

-The Conservatives' planning reform explicitly ==gives== rural development priority over conservation, even authorising 'off-plan' building —— 主句 where local people ==might object==. —— 定语从句

第三步：简化

主句

The Conservatives' planning reform explicitly gives rural development priority over conservation, even authorising 'off-plan' building

• 主句主语部分：The Conservatives' planning reform
  • 定冠词：the 修饰名词：reform
  • 名词所有格：Conservatives' 修饰名词：reform
  • 动名词：planning 作定语，修饰名词reform
  • 名词：reform 为主句主语核心词
• 主句谓语部分：explicitly gives
  • 副词：explicitly 修饰动词：gives
  • 动词：gives 后接双宾语，主句结构为：主 + 谓 + 宾 + 宾
• 主句宾语部分：rural development priority over conservation,
  • 间接宾语：rural development
    • 形容词：rural 修饰名词：development
    • 名词：development 为动词 gives 的间接宾语核心词
  • 直接宾语：priority over conservation
    • 名词：priority 为动词：gives 的直接宾语核心词
    • 介词短语：over conservation 为直接宾语：priority 的后置定语，说明 priority 的具体范围
• 主句状语部分：even authorising 'off-plan' building 修饰句子，表示主动和伴随

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• …… reform …… gives …… development priority …… —— …… 改革 …… 给予了 …… 发展优先权……

定语从句

where local people might object.

• 从句引导词：where 引导定语从句，修饰先行词：building
  • 引导词：where 在从句中充当地点状语
• 从句主语部分：local people
  • 形容词：local 修饰名词：people
  • 名词：people 为从句主语核心词
• 从句谓语部分：might object 为情态动词 + 动词原型

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• where …… people might object —— ……人们可能反对的地方