题目描述
这是 LeetCode 上的 29. 两数相除 ，难度为 中等。
Tag : 「数学」、「二分」
给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。
将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。
返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。
整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2
示例 1:
输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3示例 2:
输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2提示：
- 被除数和除数均为 32 位有符号整数。
- 除数不为 0。
- 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−,− 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回− 1。
基本分析
主要的歧义在于第三点限制「假设我们的环境只能存储 位有符号整数，其数值范围是 。本题中，如果除法结果溢出，则返回 」的理解。
该限制有两种理解方式：
- 不限制算法使用
long，只是解释为什么在溢出时，返回； - 限制算法使用
long。
原始题解在 这里 。
理解一（不限制 long）
当不限制使用 long 时，基本思路为：
- 首先，
dividend 和divisor 均有「正数」和「负数」两种可能，当且仅当其中一者为负数时，结果为负，为了方便，我们可以先记录最终结果的正负号，然后将dividend 和divisor 都当成正数来处理； - 现在两者都满足，然后利用
dividend 和divisor 均为int，可以确定答案的绝对值落在范围内（当且仅当divisor 是范围在的浮点数时，答案会大于dividend）； - 假设答案为，那么在以为分割点的整数数轴上，具有「二段性」，因此我们可以二分找到该分割点：
- 大于的数满足；
- 小于等于的数满足；
- 根据「二段性」分析，我们发现二分的
check 实现需要用到乘法，因此我们需要实现一个「不用乘法符号」的乘法实现（这可以使用倍增思想来实现mul 操作）。
代码：
class Solution {
int INF = Integer.MAX_VALUE;
public int divide(int _a, int _b) {
long a = _a, b = _b;
boolean flag = false;
if ((a < 0 && b > 0) || (a > 0 && b < 0)) flag = true;
if (a < 0) a = -a;
if (b < 0) b = -b;
long l = 0, r = a;
while (l < r) {
long mid = l + r + 1 >> 1;
if (mul(mid, b) <= a) l = mid;
else r = mid - 1;
}
r = flag ? -r : r;
if (r > INF || r < -INF - 1) return INF;
return (int)r;
}
long mul(long a, long k) {
long ans = 0;
while (k > 0) {
if ((k & 1) == 1) ans += a;
k >>= 1;
a += a;
}
return ans;
}
}- 时间复杂度：在范围内二分操作，复杂度为；倍增乘法的与操作数的二进制长度相关，复杂度为。整体复杂度为
- 空间复杂度：
理解二（限制 long）
对于全程不使用 long 的做法，我们需要将所有数映射到负数进行处理（以 为分割点，负数所能表示的范围更大）。
基本思路为：
- 起始先对边界情况进行特判；
- 记录最终结果的符号，并将两数都映射为负数；
- 可以预处理出倍增数组，或采取逐步增大
dividend 来逼近divisor 的方式。
由于操作数都是负数，因此自倍增过程中，如果操作数小于 INT_MIN 的一半（-1073741824），则代表发生溢出。
代码：
class Solution {
int MIN = Integer.MIN_VALUE, MAX = Integer.MAX_VALUE;
int LIMIT = -1073741824; // MIN 的一半
public int divide(int a, int b) {
if (a == MIN && b == -1) return MAX;
boolean flag = false;
if ((a > 0 && b < 0) || (a < 0 && b > 0)) flag = true;
if (a > 0) a = -a;
if (b > 0) b = -b;
int ans = 0;
while (a <= b){
int c = b, d = -1;
while (c >= LIMIT && d >= LIMIT && c >= a - c){
c += c; d += d;
}
a -= c;
ans += d;
}
return flag ? ans : -ans;
}
}- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
最后
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