我们在进行数据分析时，往往会发现数据具有很多种属性，比如某类型饼干的口味、加工方式、保质期、价格、购买人群等等。每一种属性就代表该数据在某一维度上的数值。多维度的数据无疑会增加数据的准确性与可靠性，但也给我们的计算带来麻烦。

主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)是一种常用的数据分析方法，通常用于提取数据的主要特征分量，从而完成对高维数据进行降维的过程。

PCA对数据的降维不是简单的维度挑选，而是将m维的数据映射到n维上(n<m)，并且保证得到的n维数据仍能准确表示原数据特征。

例如现在我们的数据如下图所示，x1，x2代表原数据的两个维度。这时候我们看图像，也不好说x1，x2哪个特性更能代表数据特征。

我们再一看，好像原数据也可以用y1，y2两个新维度表示。如下图，而且此时y1维度能体现的信息量(variance)远比y2维度大。这时我们就可以把x1，x2两个维度的数据投影到y1维度上，放弃y2维度上的数据特征，从而达到降维的目的。找到y1方向的过程就是PCA实现的过程。

如下图，e为投影方向，xk’为初始点xk投影到e方向上的投影点。

经过理论推导（下面有推导过程，我先把结论写在前面），我们发现只要计算矩阵。

（其中n为x点个数）的特征值，那么在这些特征值中最大者对应的特征向量方向，就是我们要求解的e的方向。

数学推导过程如下（可不看）：

我们取αk为投影点到坐标原点的距离，且e向量模长为1。

以所有初始点与投影点间欧式距离之和最小为求解目标

取

这样我们的推导目标从求J(e)最小值转化为求

拉格朗日乘数法，u对e求导后等于0

可以看出，λ为矩阵S的特征值，e为对应的特征向量

所以PCA问题的问题求解就是求矩阵S特征值的最大值。

我们以实际数学问题为例，我们现在有如下数据点：

我们对S特征值计算，发现有(0.7061,0.7081)和(-0.7081,-0.7061)两条特征向量，对应特征值为0.1934和1.7951。那么我们选取对应特征值大的(-0.7081,-0.7061)特征向量为最优投影方向。

大致为(1,1)方向。

如下图，我们看到投影到(0.7071,0.7071)向量上的数据大致呈正态分布。

降维对于维度较高的数据集是很有必要的，虽然部分数据被舍弃了，但是舍弃这部分信息之后能使样本的采样密度增加，这正是降维的重要动机。

另一方面，当数据受到噪声影响时，最小的特征值所对应的特征向量往往与噪声有关，将他们舍弃能在一定程度上起到去噪的效果。

MATLAB代码

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