​​DP5 有多少个不同的二叉搜索树​​

描述

给定一个由节点值从 1 到 n 的 n 个节点。请问由多少种不同的方法用这 n 个节点构成互不相同的二叉搜索树。

数据范围： 

输入描述：

仅一行输入一个正整数 n ，表示节点的数量。

输出描述：

输出组成不同二叉搜索树的方法数。

示例1

输入：

3

输出：

5

示例2

输入：

2

输出：

2

题解

动态规划解法

1. 假设dp[i]表示的是i个不同元素可以组成的二茬搜索树的方法数
2. 初始条件：dp[0] = dp[1] = 1
3. 递推条件：对于dp[i]，我们可以依次选择从1~i的树作为根节点，假设我们选择的是节点k，且 1 <= k <= i，那么根据二叉树的性质，1~k-1的数只能放在k的左边，[k+1,i]的数只能放在根节点的右边，因此dp[i] =

注意：本来dp[0]按照我的理解应该是0的，但是当我们选择i(或者1)为根节点的时候，剩余的1~i-1这些数都应该放在左边组成的方法有dp[i-1]，此时如果乘以dp[0] == 0,那么和我们逾期的结果不符，因此将dp[0]设置为1

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

int solve(int n)
{
  if (n <= 0)
  {
    return 0;
  }

  std::vector<int> dp(n + 1, 0); // dp[i]表示从0或者1台阶到达i的时候的最小值
  dp[0] = 1;
  dp[1] = 1;

  for (int i = 2; i <= n; ++i)
  {
    for (int k = 1; k <= i; ++k)
    {
      dp[i] = dp[i] + dp[k - 1] * dp[i - k];
    }
  }
  return dp.back();
}

int main()
{
  int n, x;
  std::vector<int> costs;
  std::cin >> n;

  std::cout << solve(n) << std::endl;
  return 0;
}