伴随矩阵的定义和推导过程（考研线性代数基础）
伴随矩阵是一个线代里比较难理解的概念，计算起来也稍显复杂。我翻阅了教科书发现，伴随矩阵的定义用到了行列式和代数余子式的概念。所以专门写一篇文章理清下思路，希望能从头到尾把这个概念吃透。
行列式（Determinant，简写为小写字母 det）
- 概念：
行列式是一个数，表示不同行不同列元素乘积的代数和。以行列式
A
A
A 为例，其代数表示如下
det
A
=
∣
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
∣
=
a
1
b
2
c
3
+
a
2
b
3
c
1
+
a
3
b
1
c
2
−
a
3
b
2
c
1
−
a
2
b
1
c
3
−
a
1
b
3
c
2
\det A=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
detA=
a1b1c1a2b2c2a3b3c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2
- 实例：
若将代数字母换成实际的值（1-9），可计算出其值为0.
det
A
=
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∣
=
1
×
5
×
9
+
2
×
6
×
7
+
3
×
4
×
8
−
3
×
5
×
7
+
2
×
4
×
9
+
1
×
6
×
8
=
0
\det A=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}= 1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 -3 \times 5 \times 7 + 2 \times 4 \times 9 + 1 \times 6 \times 8=0
detA=
147258369
=1×5×9+2×6×7+3×4×8−3×5×7+2×4×9+1×6×8=0
余子式（Minor，简写为大写字母 M）
- 概念：
给定一个
n
×
n
n\times n
n×n 的矩阵
A
A
A，它的余子式
M
i
j
M_{ij}
Mij 是通过删除矩阵
A
A
A 的第
i
i
i 行和第
j
j
j 列后得到的一个
(
n
−
1
)
×
(
n
−
1
)
(n−1)\times(n-1)
(n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式。用公式表示，即：
M
i
j
=
det
(
A
i
j
)
M_{ij}=\det(A_{ij})
Mij=det(Aij)
其中
det
(
A
i
j
)
\det(A_{ij})
det(Aij) 表示从矩阵
A
A
A 中删除第
i
i
i 行和第
j
j
j 列后的矩阵对应行列式。
- 实例：
设
i
=
1
,
j
=
2
i=1,j=2
i=1,j=2 ，矩阵
A
A
A
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
A=
147258369
则其余子式
M
i
j
M_{ij}
Mij 可写做
M
i
j
=
det
(
A
12
)
=
∣
4
6
7
9
∣
=
4
×
9
−
6
×
7
=
−
6
M_{ij}=\det(A_{12})=\begin{vmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{vmatrix}=4\times9-6\times7=-6
Mij=det(A12)=
4769
=4×9−6×7=−6
因其删除了第
i
=
1
i=1
i=1 行和第
j
=
2
j=2
j=2 列的所有元素。
代数余子式（Cofactor，简写为大写字母 C）
- 概念：
代数余子式
C
i
j
C_{ij}
Cij 是与余子式相关的另一概念，它是余子式
M
i
j
M_{ij}
Mij 乘以一个符号因子
(
−
1
)
i
+
j
(-1)^{i+j}
(−1)i+j 得到的值。用公式表示，即：
C
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
C_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij}
Cij=(−1)i+jMij
这个符号因子
(
−
1
)
i
+
j
(-1)^{i+j}
(−1)i+j 确保了在行列式展开时，每个元素前的符号根据其位置而正确调整。
因为交换矩阵的两行或两列会改变行列式的符号，符号因子可以确保展开过程中的正确性。这在涉及行列式展开和矩阵求逆等复杂的线性代数工程操作时尤为重要。
- 实例：
由上文中提到的余子式
M
i
j
M_{ij}
Mij （
i
=
1
,
j
=
2
i=1,j=2
i=1,j=2）为例，其代数余子式为
C
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
⋅
M
i
j
=
(
−
1
)
1
+
2
det
(
A
12
)
=
(
−
1
)
⋅
∣
4
6
7
9
∣
=
6
C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\\=(-1)^{1+2}\det(A_{12})\\=(-1)\cdot \begin{vmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{vmatrix}=6
Cij=(−1)i+j⋅Mij=(−1)1+2det(A12)=(−1)⋅
4769
=6
伴随矩阵（Adjugate Matrix，简写为 A ∗ A^* A∗）
- 概念：
给定一个 n × n n×n n×n 的矩阵 A A A，其伴随矩阵 A ∗ A^* A∗ 定义为由 A A A 的代数余子式 C i j C_{ij} Cij 组成的代数余子式矩阵 C C C 的转置。
为了方便理解，设
n
=
3
n=3
n=3 ，则矩阵
A
A
A 的代数余子式可以表达为
A
∗
=
C
T
=
[
C
11
C
12
C
13
C
21
C
22
C
23
C
31
C
32
C
33
]
T
=
[
C
11
C
21
C
31
C
12
C
22
C
32
C
13
C
23
C
33
]
A^*=C^T=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21}& C_{22}& C_{23}\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12}& C_{22}& C_{32}\\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}
A∗=CT=
C11C21C31C12C22C32C13C23C33
T=
C11C12C13C21C22C23C31C32C33
- 实例：
因上文中的矩阵 A A A 过于简单不能表示出转置变化。
所以在解释伴随矩阵概念时，设矩阵
A
A
A 为
[
1
3
5
2
4
6
7
8
9
]
\begin{bmatrix} 1& 3 & 5\\ 2 & 4& 6\\ 7 &8&9 \end{bmatrix}
127348569
其各个位置，不同的
i
,
j
i,j
i,j 处对应的代数余子式可以表示为
C
11
=
(
−
1
)
1
+
1
∣
4
6
8
9
∣
=
−
6
C
12
=
(
−
1
)
1
+
2
∣
2
6
7
9
∣
=
33
C
13
=
(
−
1
)
1
+
3
∣
2
4
7
8
∣
=
−
10
C
21
=
(
−
1
)
2
+
1
∣
3
5
8
9
∣
=
3
C
22
=
(
−
1
)
2
+
2
∣
1
5
7
9
∣
=
−
28
C
23
=
(
−
1
)
2
+
3
∣
1
3
7
8
∣
=
8
C
31
=
(
−
1
)
3
+
1
∣
3
5
4
6
∣
=
−
2
C
32
=
(
−
1
)
3
+
2
∣
1
5
2
6
∣
=
3
C
33
=
(
−
1
)
3
+
3
∣
1
3
2
4
∣
=
−
2
\begin{array}{ccc} C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -6 & C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 33 & C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -10 \\ C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 3 & C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -28 & C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 8 \\ C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -2 & C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 3 & C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 \\ \end{array}
C11=(−1)1+1
4869
=−6C21=(−1)2+1
3859
=3C31=(−1)3+1
3456
=−2C12=(−1)1+2
2769
=33C22=(−1)2+2
1759
=−28C32=(−1)3+2
1256
=3C13=(−1)1+3
2748
=−10C23=(−1)2+3
1738
=8C33=(−1)3+3
1234
=−2
所以代数余子式矩阵
C
C
C
C
=
[
−
6
3
−
2
33
−
28
3
−
10
8
−
2
]
C=\begin{bmatrix} -6 & 3 & -2 \\ 33 & -28 & 3 \\ -10 & 8 & -2 \end{bmatrix}
C=
−633−103−288−23−2
所以伴随矩阵
A
∗
A^*
A∗
A
∗
=
C
T
=
[
−
6
3
−
2
33
−
28
3
−
10
8
−
2
]
T
=
[
−
6
33
−
10
3
−
28
8
−
2
3
−
2
]
A^*= C^T = \begin{bmatrix} -6 & 3 & -2 \\ 33 & -28 & 3 \\ -10 & 8 & -2 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} -6 & 33 & -10 \\ 3 & -28 & 8 \\ -2 & 3 & -2 \end{bmatrix}
A∗=CT=
−633−103−288−23−2
T=
−63−233−283−108−2
