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STL之AVL模拟的实现（万字长文详解）

琛彤麻麻 2023-10-26 阅读 12
子树子节点二叉搜索树C/C++后端开发yyds干货盘点
加载失败

STL之AVL模拟的实现

AVL树的概念

为什么会有AVL树？在STL中对map/multimap/set/multiset其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中 插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，

因此 map、set等关联式容器的底层结构是对==二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现==

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，==但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。==

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：==当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。==

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

image-20230411163816649

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。

AVL树的实现

节点类

namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	struct AVLTreeNode
	{
		AVLTreeNode(const std::pair<K,V>& kv)//构造函数
			:_kv(kv)
			,_left(nullptr)
			,_right(nullptr)
			,_parent(nullptr)
			,_bf(0)
		{}
		std::pair<K, V> _kv;
		AVLTreeNode* _left;//左节点
		AVLTreeNode* _right;//右节点
		AVLTreeNode* _parent;//父节点
		int _bf;//balance factory//平衡因子！
	};
}

成员变量

namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	public:
	private:
		Node* _root = nullptr;//一个根节点！
	};
}

insert

插入方法
namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	public:
		bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(kv);
				return true;
			}
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
            //为什么不使用cur-> _parent而是搞了一个新的parent呢？
            //因为当cur走到最后就是一个nullptr！如果此时使用cur->_parent那么就出现了空指针的解引用！
			while (cur)
			{
				parent = cur;
				if (kv.first > cur->_kv.first)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (kv.first < cur->_kv.first)
				{
					cur = cur->_l	eft;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			cur = new Node(kv);
			if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
			{
				parent->_right = cur;
				cur->_parent = parent;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
				cur->_parent = parent;
               }
/////////////////////////////////////////////////////////
      //上面的插入逻辑就是二叉搜索树的插入逻辑！
			return true;
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;

	};
}

==AVL树的插入逻辑与二叉搜索树的插入逻辑是一致的！==image-20230411210037181

如果插入在左边 那么根据父节点的 ==平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度==，此时平衡因子为 0 -1 = -1

如果插入在右边 那么就是 1- 0 = 1

我们需不需要对这颗树进行==处理首先就是要看更新后的平衡因子！==——一旦平衡因子绝对值大于1，就要开始处理这颗树

更新平衡因子

==那么该如何更新平衡因子呢==

image-20230411213715932

==所以我们发现平衡因子停止更新的有三种情况！==

  1. 平衡因子更新后变成 0 ，那么停止向上更新！
  2. 平衡因子更新后变成 2/-2 ，二叉树出问题！要进行平衡处理！停止向上更新！
  3. 平衡因子一直更新！直到平衡因子更新到根节点位置！
#include<iostream>
#include<cassert>
namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	public:
		bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
		{
            ///插入操作
			///////////////////////////////////////////////
			//更新平衡因子
			while (parent)//parent为空就结束！因为根节点的parent就是nullptr
			{
				if (cur == parent->_left)//如果插入的是左树就--
					parent->_bf--;
				else if (cur == parent->_right)//如果插入右树就++
					parent->_bf++;

			// 是否继续更新依据：子树的高度是否变化
			// 1、parent->_bf == 0说明之前parent->_bf是 1 或者 -1
			// 说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
			// 2、parent->_bf == 1 或 -1 说明之前是parent->_bf == 0，两边一样高，现在插入一边更高了，
			// parent所在子树高度变了，继续往上更新
			// 3、parent->_bf == 2 或 -2，说明之前parent->_bf == 1 或者 -1，现在插入严重不平衡，违反规则
			// 就地处理--旋转
				if (parent->_bf == 0)//平衡因子为0更新结束
				{
					break;
				}
				else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//平衡因子为1继续向上更新！
				{
					cur = parent;
					parent = parent->_parent;//这时候父节点指针的作用就凸显出来了，如果父节点指针，我们就很难去找到原来的父节点！
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					//平衡处理！
				}
				else
				{
					assert(false);//如果到意味着在我们插入更新树之前就出问题了！
				}
			}
			return true;
		}
        //我们也可以使用cur->_parent代替parent
        //但是这样子可读性相比parent比较差一点
	private:
		Node* _root = nullptr;

	};
}

左单旋
要处理旋转的情况——重点

要旋转的情况可以说有==无限多种情况下面我们可以先看几种==！

进行旋转的方法——重点

==旋转的目标==

  1. ==让这颗子树的左右高度差不超过1==
  2. ==旋转过程中，继续保持它是平衡搜索树！==
  3. ==更新调整子节点的平衡因子==
  4. ==降低子树的高度，让子树的高度跟插入前保持一致！==

image-20230412161728408

所以进行==左旋转==的时候我们要保持一下几个原则！

  1. 让问题节点（平衡因子为2的节点）的右孩子的左节点，变成问题节点的右节点
  2. 让问题节点成为==问题节点的原右子节点的左节点！==

==至此我们的左单旋才是真正结束了！==

右单旋！
要处理旋转的情况——重点

==理解了上面的左旋转后我们理解右旋转就很容易了！==

我们先看一下右旋转的抽象图！

image-20230413111343390

==很明显我们从抽象图中可以看出来！需要进行右单旋的条件==

if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1);
进行旋转的方法——重点

右单旋的旋转其实和左单旋是思路是一一样的！

  1. ==将问题节点的左子节点的右子节点，变成问题节点的左节点！==
  2. ==然后将问题节点变成，问题节点原左节点的右节点！==
左右双旋
需要左右双旋的情况——重点

image-20230413151226803

如果是折线的右边高，我们发现依旧无法平衡！只是变成了一个左边高的折线了！虽然依旧是搜索树！但是还是无法平衡！

这时候单旋转依旧解决不了问题了！所以我们就必须用到==双旋转==了！

==下面是左右双旋的抽象图==

image-20230413151446371

为了方便理解我们还是画几个具体的图来

image-20230413153309691

image-20230413153536504

==所以我们可以判断出需要进行左右双旋的情况条件为==

if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
左右双旋的操作——重点

image-20230413215842468

namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	private:
		void RotateLR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;//这个是重点！最后会是树的新根！
			int old_bf = subLR->_bf;
			RotateL(subL);
			RotateR(parent);

			//左右双旋的问题在于更新平衡因子！
			if (old_bf == 1)//在右边插入
			{
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
                
				subLR->_bf = 0; //这个是最终旋转后是子树的新根！所以bf一定会为 0 
			}
			else if(old_bf == -1)//左边插入！
			{
				parent->_bf = 1;
				subL->_bf = 0;
                
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if(old_bf == 0)//这个节点就是新插入的节点！
			{
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = 0;
                
				subLR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}
	private:
		Node* _root = nullptr;

	};
}

右左双旋
需要右左双旋的情况——重点

我们先看一下==右左双旋抽象图==

image-20230414112801548

有了上面的左右双旋！对于右左双旋我们就很好理解！

右左双旋的操作——重点

image-20230414112546290

namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	private:
		void RotateRL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;//这个是重点！最后会是树的新根！
			int old_bf = subRL->_bf;
			RotateR(subR);
			RotateL(parent);

			if (old_bf == 1)//在右边插入
			{
				subR->_bf = 0;
				parent->_bf = -1;
                
				subRL->_bf = 0;//！！！！！千万不要更新错误！博主就因为更新错了节点，检查了一个小时o(╥﹏╥)o
			}
			else if (old_bf == -1)//在左边插入！
			{
				subR->_bf = 1;
				parent->_bf = 0;
                
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (old_bf == 0)//该节点就是新增节点！
			{
				subR->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
                
				subRL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);//说明其他地方出问题了！
			}
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;

	};
}

==右左双旋也要注意平衡因子的更新！==

==同样是分三种情况！==

image-20230414113733568

insert总代码
#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
#include<algorithm>
namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	struct AVLTreeNode
	{
		AVLTreeNode(const std::pair<K,V>& kv)
			:_kv(kv)
			,_left(nullptr)
			,_right(nullptr)
			,_parent(nullptr)
			,_bf(0)
		{}
		std::pair<K, V> _kv;
		AVLTreeNode* _left;
		AVLTreeNode* _right;
		AVLTreeNode* _parent;
		int _bf;//balance factory
	};
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	public:
		bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(kv);
				return true;
			}
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				parent = cur;
				if (kv.first > cur->_kv.first)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (kv.first < cur->_kv.first)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			cur = new Node(kv);
			if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
			{
				parent->_right = cur;
				cur->_parent = parent;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
				cur->_parent = parent;
			}
			///////////////////////////////////////////////
			//更新平衡因子
			while (parent)//parent为空就结束！因为根节点的parent就是nullptr
			{
				if (cur == parent->_left)
					parent->_bf--;
				else if (cur == parent->_right)
					parent->_bf++;

				if (parent->_bf == 0)
				{
					break;
				}
				else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					cur = parent;
					parent = parent->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					//平衡处理！
					if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateL(parent);//调用左单旋
					}
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateR(parent);//调用右单旋！
					}
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateLR(parent);
					}
					else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateRL(parent);
					}
					else
					{
						assert(false);
					}
					break;
					//旋转完后高度不变就不用继续更新了！
					
				}
				else
				{
					assert(false);//如果到意味着在我们插入更新树之前就出问题了！
				}
			}
			return true;
		}
	private:
		void RotateL(Node* parent)//左单旋
		{
			Node* subR = parent->_right;//父节点的右子节点
			Node* subRL = subR->_left;//右子节点的左子节点

			//让右孩子的左节点成为parent的右节点！
			parent->_right = subRL;

			//有3个节点_parent需要进行更新！
			//以及一个节点的子节点需要进行更新！
			if (subRL)
				subRL->_parent = parent;//如果右子节点的左子节点不是一个空节点！那么它的parent也要更新！

			Node* ppNode = parent->_parent;
			if (ppNode) //如果这个颗树是一个子树！那么要跟更新parent的父节点的子节点！
			{
				if (ppNode->_left == parent)
					ppNode->_left = subR;
				else
					ppNode->_right = subR;
			}
			else
			{
				_root = subR;//如果不是一个子树，那么subR此时就是根！
			}
			//更新subR的父节点！
			subR->_parent = ppNode;

			//让parent 成为右子节点的左节点
			subR->_left = parent;

			//此时parent是subR的左节点！
			parent->_parent = subR;

			//更新平衡因子！
			subR->_bf = parent->_bf = 0;

		}

		void RotateR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;//父节点的左子节点
			Node* subLR = subL->_right;//父节点的左子节点的右子节点

			//将父节点的左子节点的右子节点变成父节点的新左子节点！
			parent->_left = subLR;

			//将父节点的原左子节点的右子节点的父节点进行更新为parent
			if (subLR)
				subLR->_parent = parent;

			//更新parent的父节点该指向的新节点！
			Node* ppNode = parent->_parent;
			if (ppNode)
			{
				//改树是一个子树
				//将ppNode指向新的子树根节点！
				if (ppNode->_left == parent)
					ppNode->_left = subL;
				else
					ppNode->_right = subL;
			}
			else
			{
				//如果不是子树，直接更新，新的根节点
				_root = subL;
			}
			//更新原父节点的左子节点的父节点
			subL->_parent = ppNode;

			//将父节点变成原父节点的左子节点的右节点！
			subL->_right = parent;
			//将父节点的父节点进行更新
			parent->_parent = subL;
			
			//更新平衡因子
			subL->_bf = parent->_bf = 0;
		}

		void RotateLR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;//这个是重点！最后会是树的新根！
			int old_bf = subLR->_bf;
			RotateL(subL);
			RotateR(parent);

			//左右双旋的问题在于更新平衡因子！
			if (old_bf == 1)//在右边插入
			{
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
				subLR->_bf = 0; //这个是最终旋转后是子树的新根！所以bf一定会为 0 
			}
			else if(old_bf == -1)//左边插入！
			{
				parent->_bf = 1;
				subL->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if(old_bf == 0)//这个节点就是新插入的节点！
			{
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
			
		}

		void RotateRL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;
			int old_bf = subRL->_bf;
			RotateR(subR);
			RotateL(parent);

			if (old_bf == 1)//在右边插入
			{
				subR->_bf = 0;
				parent->_bf = -1;
                
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (old_bf == -1)
			{
				subR->_bf = 1;
				parent->_bf = 0;
                
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if(old_bf == 0)
			{
				subR->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
                
				subRL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

	private:
		Node* _root = nullptr;


	};
}

avl树测试

对于avl的平衡测试！我们可以采用如下代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
#include<algorithm>
namespace MySTL
{
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	public:
		bool Isbalance()
		{
			return _Isbalace(_root);
		}
	private:
		int Height(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return 0;
			int left = Height(root->_left) + 1;
			int right = Height(root->_right) + 1;

			return std::max(left, right);
		}
		bool _Isbalace(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return true;

			int leftHeight = Height(root->_left);
			int rightHeight = Height(root->_right);

			if (rightHeight -leftHeight!= root->_bf)
			{
				cout << 该平衡因子异常： << root->_kv.first << endl;
			}
			return std::abs(leftHeight - rightHeight) < 2 
				&& _Isbalace(root->_left)
				&& _Isbalace(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

AVL树的删除

因为AVL树也是二叉搜索树，==可按照二叉搜索树的方式将节点删除==，然后==再更新平衡因子==，只不过与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

image-20230417101706922

==如果兴趣读者可以选择自己去实现！要但是要记住删除的旋转后的平衡因子要进行重新调整！==

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下==，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。==

因此：==如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。==

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