贪心与证明

要选用贪心策略，就要先证明贪心策略是正确的，才能考虑使用。在很多情况下，贪心的合理性并不是显然的，但如果能找到一个反例，就可以证明这样的贪心不正确。

部分背包问题

部分背包问题
当背包问题的物品可以被任意切割的时候，贪心策略是正确的。这很好理解。只要拿单位价值最高的商品，填满袋子就是最优解。
ac代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, t;
const int N = 110;

struct Coin
{
	double v;
	double w;
	double val;
	bool operator<(const Coin& c) const
	{
		return val < c.val;
	}
}coin[N];

int main()
{
	cin >> n >> t;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		double w, v;
		cin >> w >> v;
		coin[i] = {v, w, v / w};
	} 
	sort(coin, coin + n);
	double ans = 0;
	for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
	{
		if(t < coin[i].w)
		{
			ans += coin[i].val * t;
			t = 0;	
			break;
		} 
		else if(t > 0)
		{
			t -= coin[i].w;
			ans += coin[i].v;
		}
	}
	printf("%.2lf", ans);
}

但如何证明当背包问题物品无法被切割时，贪心策略是错误的呢？
可以用反证法，只要有一个例子可以证明贪心是错误的，那就不能用。（这个例子很好找，给的测试案例就是一个）

排队接水

有 n 个人在一个水龙头前排队接水，假如每个人接水的时间为 Ti ，请编程找出这 n 个人排队的一种顺序，使得 n 个人的平均等待时间最小。

这道题凭直觉来看也很简单。平均等待时间最小，就是让接水时间长的人少人等，即接水时间越短的人越先接水。

其实不证明也行，可以举一些例子，如果举不出反例，就证明贪心正确。可以用暴力枚举来验证答案。如果暴力和贪心答案一致，那贪心正确性很高。

ac代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

struct P
{
	int id, t;
	bool operator< (const P& p) const
	{
		if(t == p.t) return id < p.id;
		else return t < p.t;
	}
}p[N];

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int t;
		cin >> t;
		p[i] = {i , t};
	}
	sort(p + 1, p + n + 1);
	double res = 0;
	int u = n;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		res += p[i].t * (u - 1);
		u --;
		cout << p[i].id << ' ';
	}
	puts("");
	printf("%.2lf", res / n);
}

凌乱的yyy/线段覆盖

线段覆盖
这是一道经典的贪心问题。就是给定n个区间，最多有几个区间是不重合不相交的。

思路：从左向右看，找到结束位置最靠左的。这样可以给后面的区间更多的空间放置。在这一步上是局部最优解。然后继续找最靠左的区间，能放就放（有可能区间虽然更靠左，但是有重叠，那就不能放了）。

这样就做到了每一步都是局部最优解，那就是全局最优解了。

因此我们只要按结束位置来升序排序即可。

ac代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

struct Contest
{
	int begin, end;
	bool operator< (const Contest& c) const
	{
		return end < c.end;
	}
}contest[N];

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		int b, e;
		cin >> b >> e;
		contest[i] = {b , e};	
	}
	sort(contest, contest + n);
	
	int ans = 0, end = -1;
	for(int i = 0; i < n; i++)
		if(contest[i].begin >= end) 
		{
			ans++;
			end = contest[i].end;
		}
	cout << ans;
}