Malthus模型预测人口增长-CFANZ编程社区

最近在学习人口数量的预测时，除了用 Malthus 和 Logistic 这两种方法进行拟合之外，还有一个新的方法——Leslie矩阵模型。

首先先讲讲 Malthus 拟合，这是由英国的人口学家 Malthus 提出，用于预测人口增长状况的一种方法；令时刻 t 的人口数为 x(t) ，不妨将 x(t) 看作是个连续的、可微的函数。时刻 t = 0，的人口数为 x0 ,假设人口增长率为常数 r ，则在 $\textrm{t~$\sim$ t}+\Delta t$ 时间内人口的增量可以表示为：

$x(t+\Delta t) - x(t) = rx(t)\Delta t$

若 $\Delta t\rightarrow 0$ ，则可以得到：

$\left \{ \begin{aligned} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} = rx(t) \Rightarrow \frac{dx}{dt} = rx \\ x(0) = x_{0} \end{aligned} \right .\Rightarrow \space x(t) = x_{0}e^{rt} \qquad(1)$

clear;
clc;
syms x0;
dsolve('Dx = r*x','x(0) = x0','t')

这里增加两个概念

1、人口平均增长速率：

$\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad(2)$

2、人口平均相对增长速率：

$\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{x(t)\Delta t} = \frac{\Delta x}{x(t)\Delta t} \quad(3)$

一般来说人口平均相对增长率是稳定的，与人口基数无关。

参考了大多数资料后发现大多数都是用下方公式近似求解

$x(t) = x_{0}e^{rt} \approx x(t) = x_{0}(1+r)^{t} \quad (4)$

$\lim_{n\rightarrow \infty } (1+\frac{1}{n})^{n} = e$

不妨对（4）式的近似两边同时取对数，可以得到：

$lnx_{t} = lnx_{0} + t\times ln(1+r)$

一般数据会给出多个年份的人口数，也就是 x(t) 、x0 和 t 都已知，可利用线性拟合，拟合出上述公式，求出增长率 r ，进而预测未来的人口数。

优点：参数少，计算简单，在数据没有较大的异常或者误差时，可以得到比较好的预测结果。

缺点：当时间趋向无穷大时，预测的结果也会趋向无穷大，这明显不符合现实，也就是这个模型没有考虑人口数增长受到多方面的控制，比如：自然资源有限、政府政策等等。

% 美国人口数的计算
clear;
clc;
Y = [1900:10:2000];   % 年份
pp = [76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4];  % 人口数/百万population

Y = input('请输入年份');
pp = input('请输入对应年份的人口数');

y = log(pp);
x = Y-Y(1);  % 转化为 0,1,2,3……
P = polyfit(x,y,1);  
r = exp(P(1))-1
x0 = exp(P(2))  % Y(1)时候的人口数

plot(Y,pp,'*');
hold on;

xi = x(end)+(x(2)-x(1)).*[1:5];  % 预测后面5年的人口数
xn = [x xi];
Yn = xn + Y(1);
yn = polyval(P,xn);
ppn = exp(yn);

plot(Yn,ppn)

上面例子得到的结果如下：

过点时间再接着写 Logistic 模型和 Leslie 矩阵模型

参考：《数学建模竞赛入门与提高》周凯,宋军全,邬学军