回文树 PAM 学习笔记

摘自 《2017 年国家集训队论文》“ 回文树及其应用 ”

• 一些规定 ： 表示字符集大小
  串 和字符 ，用 表示将 接在
• 回文树：回文树是一棵由两棵树组成的森林，两棵树的根分别为，回文树上的除根以外的一个结点表示一个字符串，每条边有一个字符， 表示一个结点代表的字符串的长度，一个结点代表的字符串可以由如下方式得到：
  从根开始沿着路径走，走过一条边就将边上的字母添加到两边，即 ，其中从 出发的第一步只添加一个字符
  表示一个结点的失配指针，一个成型的回文树如下：



• 容易注意到，一个长为 的字符串的 结点数为 ，要证明这点，我们只需要证明一个长为 的串的本质不同子串数为 ，考虑数学归纳法：
  时成立
  时假设，考虑 与前面的串形成的新的回文后缀，不妨设这些右端点为 ，若右端点为空集，那么 自成回文串，否则注意到若 是一个回文串的话，那么 也为一个回文串，而
• 构造方法：
  我们需要对每个串 找到它的最长回文后缀，对此，我们在 代表的串的最长后缀的 链上找一个最长的串 ，满足 ，那么 代表的回文串为 ，我们新建一个结点表示这个点后，还需要求出它的 ，这一步相当于在 的链上求一个最长的串 满足
• 复杂度分析：空间复杂度，时间复杂度
  考虑势能分析跳 树的这一步，一是找最长回文后缀的贡献，一是找 的贡献，二者是同阶的，我们分析前者，假设最长回文后缀为 ，那么有 ，故只会增长 次，所以一共会跳至多 步 ，在 处检查 是否存在，花费 的代价
  当然也可以变成
• 集合，即 树中子树右端点的点集，性质与
• 前端插入：
  对此，我们需要维护 来寻找最长回文前缀，而注意到每个串都是回文串的性质，发现有
• 不基于势能分析的插入方法：
  我们对一个结点 维护 表示 最长的满足前驱为 的回文后缀
  注意到 的 和 的 没有什么区别，我们将 的 复制给
  令 为 的前驱，后用 来更新 的 即可
  在 树上建