Section 14.堆-CFANZ编程社区

一、堆是什么？

堆是一棵完全二叉树

存储方式：一维数组，下标从1开始，下标x的左子节点是下标2x，右子节点是下标2x+1

二、如何手写一个堆？

初始化，读入堆

for (int i = 1; i <= n; i++)  //n是堆的大小
	scanf("%d", &h[i]);
::size = n;
for (int i = n / 2; i; i--)  //循环到n也行，循环到n/2可以降低复杂度（证明略）
	down(i);

插入一个数

//heap是存储堆的数组，size是堆的大小，x是待插入的数
heap[++size] = x;  //先在堆底插入x
up(size);  //将x上移至合适的位置

求集合当中的最小值

heap[1];

删除最小值

heap[1] = heap[size];  //先用最后一个点覆盖第一个点（最小值）
size--;  //堆的大小-1
down(1);  //将覆盖过来的值下沉

删除任意一个元素

//下标k为要删除的值的位置
heap[k] = heap[size];  //将堆底的值覆盖到k
size--;  //堆的大小-1
down(k);
up(k);  //覆盖过来的值要么应上移要么应下移要么不变，因为down和up函数都有执行条件，所以两个可以直接写上去，函数会判断执行哪个

修改任意一个元素

//下标k为要修改的值的位置
heap[k] = x;
down(k);
up(k);

如何上移和下移？

void down(int u)  //下移
{
	int t = u;  //t表示左右子节点中最小值的编号
	//下移过程中优先和最小的那个子节点交换
	//下面的两个if同时保证了如果u已经满足了堆的性质，u不会下移
	if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) //如果u的左子节点存在且u的左子节点小于u
		t = u * 2;  //t设为左子节点
	if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t])  //如果u的右子节点存在且u的右子节点小于t
		t = u * 2 + 1;  //t设为右子节点
	if (u != t)  //如果找到了可以交换的数
	{
		swap(h[u], h[t]);  //交换
		down(t);  //递归，直到u满足堆的性质为止
	}
}
void up(int u)  //上移
{
	while (u / 2 && h[u / 2] > h[u])  //如果u的父节点不是根节点且父节点大于u
	{
		swap(h[u / 2], h[u]);
		u /= 2;
	}
}

三、总代码

#include <iostream>
const int N = 100010;
int n;
int h[N], size = 0;
using namespace std;
void down(int u)  //下移
{
	int t = u; 
	if (u * 2 <= ::size && h[u * 2] < h[t])
		t = u * 2;  
	if (u * 2 + 1 <= ::size && h[u * 2 + 1] < h[t])  
		t = u * 2 + 1;  
	if (u != t)
	{
		swap(h[u], h[t]);  
		down(t);
	}
}
void up(int u)  //上移
{
	while (u / 2 && h[u / 2] > h[u])
	{
		swap(h[u / 2], h[u]);
		u /= 2;
	}
}
void insert(int x)  //插入x
{
	h[++::size] = x;  
	up(::size);
}
int min()  //求堆中的最小值
{
	return h[1];
}
void delmin()  //删除堆中最小值
{
	h[1] = h[::size]; 
	::size--; 
	down(1);
}
void del(int k)  //删除下标k的元素
{
	h[k] = h[::size];  
	::size--; 
	down(k);
	up(k);
}
void write(int k, int x)  //将下标为k的元素修改为x
{
	h[k] = x;
	down(k);
	up(k);
}
int main()
{
	//cin>>n;
	//读入
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &h[i]);
	::size = n;
	for (int i = n / 2; i; i--)
		down(i);
	//....
}

四、配套练习

AcWing838https://www.acwing.com/problem/content/840/AcWing839https://www.acwing.com/problem/content/841/