文章目录

• 01背包
• • 例题：2. 01背包问题
• 完全背包
• • 例题：3. 完全背包问题
• 多重背包
• • 例题：4. 多重背包问题 I
  • 例题：5. 多重背包问题 II（数据范围较大：二进制优化）
• 分组背包
• • 例题：9. 分组背包问题

01背包

例题：2. 01背包问题

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] v = new int[n], w = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {           // 枚举物品
            for (int j = m; j >= v[i]; --j) {   // 枚举背包
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[m]);
    }
}

完全背包

例题：3. 完全背包问题

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] v = new int[n], w = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {           // 枚举物品
            for (int j = v[i]; j <= m; ++j) {   // 枚举背包
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[m]);
    }
}

多重背包

例题：4. 多重背包问题 I

把 多重背包拆分成 01背包即可。

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] v = new int[n], w = new int[n], s = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
            s[i] = sc.nextInt();
        }
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {               // 枚举物品
            for (int k = 0; k < s[i]; ++ k) {       // 枚举 k 个物品
                for (int j = m; j >= v[i]; --j) {   // 枚举背包
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m]);
    }
}

例题：5. 多重背包问题 II（数据范围较大：二进制优化）

这一题和上一题唯一不同的就是数据范围。

因此，本题考查的重点是：多重背包的二进制优化方法

核心思想是： 将每个物品的数量 x 分成若干组，每组的数量都是 2 的幂次。（因为分成这样若干个组之后，它们之间可以组合成 0 ~ s 的任意数量。）

将 1023 数量分组打包成 1，2，4，8，… 512。
这样就将一个循环的 $O(n)$ 优化成了 $O(\log n)$

那不能正好分成 2 的幂该怎么办呢？看下面这个例子：

最后还剩多少，就设置成多少。

import java.util.*;

public class Main {
    final static int N = 12010;
    static int[] v = new int[N], w = new int[N];
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int a = sc.nextInt(), b = sc.nextInt(), s = sc.nextInt();
            int k = 1;
            // k = 1,2,4,...
            while (k <= s) {
                v[cnt] = a * k;
                w[cnt] = b * k;
                s -= k;
                k *= 2;
                cnt++;
            }
            // 如果 s 没有被若干个 k 分完
            if (s > 0) {
                v[cnt] = a * s;
                w[cnt] = b * s;
                cnt++;
            }
        }

        n = cnt;
        int[] dp = new int[m + 1];

        // 01背包模板
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = m; j >= v[i]; --j) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }

        System.out.println(dp[m]);
    }
}

分组背包

例题：9. 分组背包问题

分组背包的枚举顺序为：
每一组 —— 背包容量 —— 每一组中的物品。

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] dp = new int[m + 1];

        List<int[][]> goods = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int s = sc.nextInt();
            int[][] ths = new int[s][2];
            for (int j = 0; j < s; ++j) {
                ths[j][0] = sc.nextInt();
                ths[j][1] = sc.nextInt();
            }
            goods.add(ths);
        }
        for (int k = 0; k < n; ++k) {           // 枚举每一组
            int[][] ths = goods.get(k);
            for (int j = m; j >= 0; --j) {      // 枚举背包容量
                for (int[] th : ths) {          // 枚举该组的每一个物品
                    if (j >= th[0]) {
                        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - th[0]] + th[1]);
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m]);
    }
}

更多相关内容可见：【算法】01背包和完全背包