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972-最大正方形

萧萧雨潇潇 2022-02-16 阅读 79

题目如下

在一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的二维矩阵内,找到只包含 ‘1’ 的最大正方形,并返回其面积。

示例 1:
在这里插入图片描述
输入:matrix = [[“1”,“0”,“1”,“0”,“0”],[“1”,“0”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“1”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“0”,“0”,“1”,“0”]]
输出:4

示例 2:
在这里插入图片描述
输入:matrix = [[“0”,“1”],[“1”,“0”]]
输出:1

示例 3:
输入:matrix = [[“0”]]
输出:0

提示:
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 300
matrix[i][j] 为 ‘0’ 或 ‘1’

解题代码

方法一虽然直观,但是时间复杂度太高,有没有办法降低时间复杂度呢?

可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j) 表示以(i,j) 为右下角,且只包含 11 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 dp(i,j) 的值,那么其中的最大值即为矩阵中只包含 11 的正方形的边长最大值,其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算dp 中的每个元素值呢?对于每个位置 (i, j),检查在矩阵中该位置的值:

如果该位置的值是 0,则 dp(i,j)=0,因为当前位置不可能在由 11 组成的正方形中;

如果该位置的值是 1,则dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的{dp}dp 值决定。具体而言,当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1,状态转移方程如下:

dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1

以下用一个例子具体说明。原始矩阵如下。
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1

对应的dp 值如下。
0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3

下图也给出了计算 dp 值的过程。
在这里插入图片描述

class Solution 
{
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) 
    {
        if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) 
        {
            return 0;
        }
        int maxSide = 0;
        int rows = matrix.size(), columns = matrix[0].size();
        vector<vector<int>> dp(rows, vector<int>(columns));
        for (int i = 0; i < rows; i++) 
        {
            for (int j = 0; j < columns; j++) 
            {
                if (matrix[i][j] == '1') 
                {
                    if (i == 0 || j == 0) 
                    {
                        dp[i][j] = 1;
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                    }
                    maxSide = max(maxSide, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        int maxSquare = maxSide * maxSide;
        return maxSquare;
    }
};

在这里插入图片描述

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