2维旋转矩阵的推导方式-CFANZ编程社区

1、向量空间推导

先复习向量空间的定义

向量空间的定义是：设V为n维向量的集合，若集合V非空，且集合V对于向量的加法及数乘两个运算封闭，那么称集合V为向量空间。

也就是说向量空间=集合+运算+运算对集合封闭，三个要素满足了就是向量空间

对于向量空间，都可以找到无数个基，对于同一个向量N，不同的基对应不同的坐标，不妨设存在基( a_1,a_2,...a_n )，( c_1,c_2,...,c_n )，( k_1,k_2,...k_n )，对于同一个向量N，对应的坐标分别为( x_1,x_2,...x_n )，( y_1,y_2,...,y_n )，( z_1,z_2,...z_n )，那么向量可表示为：

N = a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n = c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n = k_1z_1+k_2z_2+...+k_nz_n

这里的( a_1,a_2,...a_n )，( c_1,c_2,...,c_n )，( k_1,k_2,...k_n )基坐标的基是单位向量基(1,0,0,...),(0,1,0,...),...(0,0,0,...1),也就是说基的坐标是使用单位向量基来表示的

也就是说对于同一个向量，不同的基和它的坐标相乘，得到的是同一个向量

对于2维实数集合 R^2 ，对于向量V，旋转θ角度以后得到了向量V3，同样将坐标系<x ,y>也旋转θ角度得到坐标系<x3, y3>

不同的基对应不同的坐标系，也就是说这里的<x, y>坐标系以及的<x3, y3>坐标系对应着不同的基，这里写出两个坐标系的基坐标<x, y>对应单位向量基的坐标(1, 0)和(0, 1)，当然也可以是(2, 0), (0, 2)，这里为了计算简便，就使用了单位向量基；<x3, y3>对应单位向量基的坐标(1*cosθ, 1*sinθ)和(1* $cos(\theta+\frac{\pi}{2})$ , 1* $sin(\theta+\frac{\pi}{2})$

也就是<x, y>对应a1= $\binom{1}{0}$ ，a2= $\binom{0}{1}$

<x3, y3>对应c1= $\binom{cos\theta}{sin\theta}$ ，c2= $\binom{cos(\theta+\frac{\pi}{2}))}{sin(\theta+\frac{\pi}{2}))}$ = $\binom{-sin\theta}{cos\theta}$ ，这里的坐标都是对应单位向量基的，这里的求出了坐标系对应的坐标，也可以将这里的坐标看成是向量

由于以上说了对于同一个向量，不同的基和它的坐标相乘，得到的是同一个向量

这里是重点了的，重点！！！

设V在坐标系的<x, y>坐标是 $\binom{x^9}{y^9}$ ，也就是向量V的原始坐标

则V3在坐标系的<x3, y3>坐标是 $\binom{x^9}{y^9}$ ，也就是向量V的原始坐标， V3在坐标系的<x, y>坐标也就是待求的坐标 $\binom{m}{n}$

从而根据向量V3在两个坐标系存在两个坐标写出等式：

<x, y>基坐标* $\binom{m}{n}$ = <x3, y3>基坐标* $\binom{x^9}{y^9}$

即 $\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}$ $\binom{m}{n}$ = $\begin{pmatrix} cos\theta & cos(\theta+\frac{\pi}{2})\\ sin\theta & sin(\theta+\frac{\pi}{2}) \end{pmatrix}$ $\binom{x^9}{y^9}$ = $\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$ $\binom{x^9}{y^9}$

从而可以得到 $\binom{m}{n}$ = $\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$ $\binom{x^9}{y^9}$

旋转矩阵就是 $\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$

第108页，《工程数学线性代数-第六版》同济大学出版

2、几何作图推导方式

这里的推导方式稍微不同些，这里是向量不动，坐标轴旋转，然后求在旋转以后的坐标轴的坐标是多少，其实向量P逆时针旋转，相当于坐标轴顺时针旋转，这里的相当于坐标是逆时针旋转，向量P相应的是顺时针旋转了

存在相应的点 P(x_a, x_b) ，坐标轴 x –> y 旋转 θ角度，求该点在旋转以后的坐标轴的坐标是多少，也就是之前的坐标轴废弃掉，不管，向量P顺时针旋转以后的坐标是多少

有人会发现这里的旋转矩阵和之前推导的有点不相同

这里的旋转矩阵是： $\begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$

而1、3推导出来的旋转矩阵是： $\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$ ，元素 $a_{12}$ 、 $a_{21}$ 符号相反的

符号相反的原因是：这里的向量P不动，但是坐标轴逆时针旋转了θ角度，相当于向量P顺时针旋转了θ角度，若向量P逆时针旋转为正方向，顺时针旋转则应该加个负号，从而：

旋转矩阵的推导及其应用（Rotation Matrix）

3、极坐标推导方式

对于极坐标里的向量r初始角度为β，它对应的直角坐标是 $\binom{x}{y}$ = $\binom{rcos\beta}{rsin\beta}$ ，旋转θ角度以后就可以得到相应的直角坐标为 $\binom{rcos(\beta+\theta)}{rsin(\beta+\theta)}$

可以将其化开为： $\binom{rcos(\beta+\theta)}{rsin(\beta+\theta)}$ = $\binom{rcos{\beta}cos\theta-rsin{\beta}sin\theta}{rsin{\beta}cos\theta+rcos{\beta}sin{\theta}}$ = $\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$ $\binom{rcos\beta}{rsin\beta}$

所以得到相应的旋转矩阵为

$\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$

第29页，第152页例9，《工程数学线性代数-第六版》同济大学出版