文章目录

• 单源最短路
• • 边权为正
  • • 1.1、朴素Dijkstra O(n^2)
    • • 算法步骤
      • 算法证明
      • 算法实现
    • 1.2、堆优化Dijkstra O(mlogn)
  • 边权为负
  • • 2.1、Bellman-Ford O(nm)
    • 2.2、SPFA 一般O(m)、最坏O(nm)
• 多源最短路
• • 3 Floyd O(n^3)

单源最短路

边权为正

1.1、朴素Dijkstra O(n^2)

算法步骤

假设起点是st；已经确定到st最短距离的点在集合S中

1. $dis[s]=0,(i\ne s)dis[i]=+\infty$
2. for(i = 0; i < n; i ++ )
   2.1. 不在S中，距离st最近的点x
   2.2. 用x更新它连的所有点y（松弛操作）：
   if(dis[y] > dis[x] + w(x, j)) dis[j] = dis[x] + w(x, y)
   2.3. x放入S

第二步循环内每次都能确定一个点x的最短距离，重复n次就能确定所有点的最短距离。

以算法导论的图为例：

a. 初始化dis[s]=0
b. 到s最近的就是s本身，更新s连的y和t， S = { s } S=\{s\} S={s}
c. 到s最近的是y（$y:5<t:8<x:\infty =z:\infty$），更新y连的t、x、z， S = { s , y } S=\{s,y\} S={s,y}
d. 到s最近的是z（$z:7<t:8<x:14$），更新z连的x， S = { s , y , z } S=\{s,y,z\} S={s,y,z}
e. 到s最近的是t（$t:8<x:13$），更新t连的x， S = { s , y , z , t } S=\{s,y,z,t\} S={s,y,z,t}
f. 到s最近的是x（只剩x了），结束。

算法证明

粗略证明：

1. 如果某个点（下图中的u）由算法得到的答案不是最短路，那在理论最短路径中，u肯定是连在“比u晚进S的点”（下图中的y）后面。
   1.1. 因为如果是连在"比u先进入S的点"（下图中的x）后面，由归纳得x是最短路，x能松弛到u，算法得到得答案也是理论最短路径，矛盾。
2. 而路径中y在u前面，边权又都是正的，算法是挑近的进S，y肯定会比u更早进S，矛盾。
3. 因此不存在u，进S的点由算法得到的值就是实际最短路的值。

下面是严格证明：

假设u之前的点，有性质：对于所有加入S的点，在这个点加入S时，根据算法的步骤所确定的st到这个点的距离，都是最短路。

记：根据算法的步骤所确定的$st$到点$i$的距离 = $dis[i]$；$st$到点$i$的实际最短路=$ans[i]$

那么性质可简写为：对于所有加入S的点$i$，在$i$加入S时，都有$dis[i]=ans[i]$。

命题如下：点$u$加入S时，$u$是第一个使这个性质不成立的点，即$dis[u]\ne ans[u]$

利用反证法证明不存在这样的点$u$：

1. $u$和$st$不同：因为$st$是第一个进入集合$S$的结点，$dis[st]=0$，是最短路，性质成立。
2. 此时$S$不是空集：$u$加进来时至少有点$st$
3. 此时已经存在某条从$st$到$u$的路径：算法每次都是找距离$st$最近的点，如果不存在$st$到$u$的路径，那么$dis[u]=\infty$，$u$不可能被加进来。
4. 不妨设目前所有$st$到$u$的路径中，最短的路径是 st —p₁—> x —> y —p₂—> u，$x$是$y$的前一个点，$y$是第一个不属于$S$的点，因此$x$在$S$中。
   ps. (p₁和p₂可能不包含任何边，可能$st=x$或$y=u$，但$x$和$y$不同，p₂可能重新进入$S$)
5. $dis[x]=ans[x]$：因为$u$是第一个使这个性质不成立的点，而$x$在$u$之前且已经进入$S$中。
6. $dis[y]=ans[y]$：点$x$进入$S$时，进行松弛更新了$y$，得到了$dis[y]$。
   而$y$在$st$—>$u$的最短路上，如果还存在其他st—p₃—>y的最短路，那么st —p₃—> y —p₂—> u，才是st—>u的最短路，这和第4步的假设矛盾。
   因此st —p₁—> x —> y就是st—>y的最短路径。
7. $ans[y]\le ans[u]$：因为$y$在$u$之前，且所有路径都是正的。
8. $ans[u]\le dis[u]$：算法估计的最短路只可能比真实的最短路长。
9. $dis[u]\le dis[y]$：u和y都不在S中，而算法每次都会从不在S中的点里面挑距离$st$最近的，也就是dis更小的，而此时$u$正准备进$S$，而$y$是在之后才进$S$。因此$dis[u]\le dis[y]$。
10. 根据第7、8、9步，我们得到$ans[y]\le ans[u]\le dis[u]\le dis[y]$
    由根据第6步的 $dis[y]=ans[y]$，有$ans[y]=ans[u]=dis[u]=dis[y]$
    可以看到$ans[u]=dis[u]$和命题矛盾
11. 综上不存在这样的点$u$，因此算法所求的所有点都满足性质，即进入S的点所确定的距离都是最短路。

算法实现

在这里插入代码片

1.2、堆优化Dijkstra O(mlogn)

边权为负

2.1、Bellman-Ford O(nm)

可以处理限制只经过k条边的最短路问题。

2.2、SPFA 一般O(m)、最坏O(nm)

多源最短路

3 Floyd O(n^3)