快速幂为什么这么快

在解决一些数学问题时经常用到快速幂算法，自己有过这样的疑问，快速幂为什么这么快？现在干脆把它写下来。

代码：

typedef long long LL;
LL power(int a,int p){
  LL ans=1,temp=a;
  while(p){
    if(p&1) ans=ans*temp;
    temp=temp*temp;
    p>>=1;
  }
  return ans;
}

快速幂充分利用了二进制的特点（非0即1），把十进制转成二进制表达后再展开，ans对于每一位的当前结果要么乘要么不乘，把原本长度是p的循环变成了长度是p二进制位数（log2(n) )的循环。

举例说明：

已知这样一个事实：

有了它，就可以由前一位二进制幂结果推出后一位二进制幂结果，对于每一位二进制幂结果由0和1决定是否乘于ans(0也可以看做给ans乘上了1）。

如此，长度是11的循环变成了长度是4的循环。

对于p很大的情况，此算法的”快“会充分的体现。

而快速幂取模的算法则因为

的成立，加上取模就能使用。