[蓝桥杯 2017 省 AB] 包子凑数

题目描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 $N$ 种蒸笼，其中第 $i$ 种蒸笼恰好能放 $A_i$ 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 $X$ 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 $X$ 个包子。比如一共有 $3$ 种蒸笼，分别能放 $3$ 、 $4$ 和 $5$ 个包子。当顾客想买 $11$ 个包子时，大叔就会选 $2$ 笼 $3$ 个的再加 $1$ 笼 $5$ 个的（也可能选出 $1$ 笼 $3$ 个的再加 $2$ 笼 $4$ 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 $3$ 种蒸笼，分别能放 $4$ 、 $5$ 和 $6$ 个包子。而顾客想买 $7$ 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$ 。 $\le N \le 100)$ 。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$ 。 $\le A_i \le 100)$ 。

输出格式

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

样例 #1

样例输入 #1

2  
4  
5

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

2  
4  
6

样例输出 #2

INF

提示

对于样例 $1$ ，凑不出的数目包括： $1, 2, 3, 6, 7, 11$ 。

对于样例 $2$ ，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

蓝桥杯 2017 省赛 A 组 H 题。

🍑 思路
🍁 裴蜀定理：当 gcd(a,b) == 1 时，这两个数最大不能凑出来的数是：(a-1)(b-1)-1
🍁 数据最大取到 100，最大的两个互质数为 100 和 99，那 最大不能凑出的数 小于 98*99

🍑 完全背包二维版

import java.util.*;

public class Main
{
	static int N = 110, M = 10010;
	static int[] a = new int[N];
	static boolean[][] f = new boolean[N][M];

	static int gcd(int a, int b)
	{
		return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int d = 0;// 任何数 和 0 的最大公约数都是 它本身
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			a[i] = sc.nextInt();
			d = gcd(d, a[i]);
		}
		if (d != 1)
			System.out.println("INF");
		else
		{
			f[0][0] = true;

			for (int i = 1; i <= n; i++)
				for (int j = 0; j < M; j++)
				{
					f[i][j] = f[i - 1][j];
					if(j >= a[i])
						f[i][j] |= f[i][j-a[i]];
				}
			
			int res = 0;
			for(int i = 0; i < M; i++)
			{
				if(!f[n][i])
					res++;
			}
			System.out.println(res);
		}
	}
}

🍑 滚动数组优化版

import java.util.Scanner;

public class Main
{
	static int N = 110, M = 10010;
	static int[] a = new int[N];
	static boolean[] f = new boolean[M];

	static int gcd(int a, int b)
	{
		return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int d = 0;// 任何数 和 0 的最大公约数都是 它本身
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			a[i] = sc.nextInt();
			d = gcd(d, a[i]);
		}
		if (d != 1)
			System.out.println("INF");
		else
		{
			f[0] = true;

			for (int i = 1; i <= n; i++)
				for (int j = a[i]; j < M; j++)
				{
					f[j] |= f[j - a[i]];
				}

			int res = 0;
			for (int i = 0; i < M; i++)
			{
				if (!f[i])
					res++;
			}
			System.out.println(res);
		}
	}
}