CCF CSP 202112-1题

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CCF CSP 202112-1题

题目背景

题目描述

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样例1输入

3 10
2 5 8

样例1输出

样例1解释

样例2输入

9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9

样例2输出

子任务

提示

题目分析

题目中的A序列，可以分析得到，An>=n
f(x)有两种情况

a> 0<=i<n && Ai<=x<Ai+1 时f(x)=i;

b> n<=An<=x 时f(x)=n;
求的是sum(A) 也就是f(0)+f(1)+f(2)+……+f(N-1)
序列A必定是从0开始（不大于0的数字只能是0），也就是说f(i)也会是从0开始依次递增，因为后面i的数字变大，然后不大于1，不大于2，不大于3，不大于4才逐渐会变化f(i)为A序列第二个数字，第三个数字。

根据题目样例解释进行解析

根据以上的规律，可以得出，情况a的时候，由于i会逐1增加，所以在没超过序列A中下一个数时，其f(i)都会保持不变，这里也与题目的提示相应和，所以A序列中的数字差，就是下面f(i)中每区段内相同数字的个数，i（下标）就是下方f(i)的区段内的f(i)，在情况b的时候，可以猜想出，随着i的增加，f(i)的值已经超过最大的下标n，所以就只能全部为n，也就是说，从n到N也可以作为一个区段，这时的i全部大于An，下标也对应为最后一个i，一直到N，个数也可以通过N-n也就是数字差来计算，所以将N合并到A序列中，如此，我们统一了计算过程

也就是说我们也可以根据题目的计算得出公式

sum(A) = f(0) x 2 + f(2) x 3 + f(5) x 3 +f(8) x 2

= 0 x (2-0) + 1 x (5-2) + 2 x (8-5) +3 x (10-8)

最后得到

sum += (A[i]-A[i-1]) * (i-1)

AC Code

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n, N;
	scanf("%d %d",&n,&N); 
	int A[n+2];
	A[0]=0;
	A[n+1]=N;
	// 一个A[0]=0 一个A[n+1]=N 都是为了计算添加的 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>A[i]; 
	}
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		sum+=(A[i]-A[i-1])*(i-1);
	}	
	printf("%d",sum);
	return 0;
}

方法二（网上查到的）

思路解析

f(x)=diff(1)+diff(2)+diff(3)+……+diff(x)=f(x)-f(0)
当i逐1递增到序列A下一个数字时，说明f(x)的值后续都需要加一（因为下标会向后移动）
此时我们就对diff(A[i])++;这样子后续加起来的时候后续所有的f(x)都会加上这个1了

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e7+5;
int n,N,dif[M],f[M];
int main(){
    int a;
    cin>>n>>N;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a;
        dif[a]++;
        //差分数组，无论操作多少次，最后f(x)求和的时候都只计算一次
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<N;i++){ 
        //求得f(i)的方法
        f[i]=f[i-1]+dif[i];
        //将此f(i)加入和
        res+=f[i];
    }
    cout<<res;
    return 0;
}