0
点赞
收藏
分享

微信扫一扫

633. 平方数之和:【最优解】费马平方和性质进行求解


题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​633. 平方数之和​​ ,难度为 中等

Tag : 「数学」、「双指针」

给定一个非负整数 c ,你要判断是否存在两个整数 a 和 b,使得  + = c 。

示例 1:

输入:c = 5

输出:true

解释:1 * 1 + 2 * 2 = 5

示例 2:

输入:c = 3

输出:false

示例 3:

输入:c = 4

输出:true

示例 4:

输入:c = 2

输出:true

示例 5:

输入:c = 1

输出:true

提示:

  • 0 <= c <=- 1

基本分析

根据等式 ,可得知 a​b​ 的范围均为

基于此我们会有以下几种做法。

枚举

我们可以枚举 ​​a​​​ ,边枚举边检查是否存在 ​​b​​ 使得等式成立。

这样做的复杂度为 。

代码:

class Solution {
public boolean judgeSquareSum(int c) {
int max = (int)Math.sqrt(c);
for (int a = 0; a <= max; a++) {
int b = (int)Math.sqrt(c - a * a);
if (a * a + b * b == c) return true;
}
return false;
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

双指针

由于 ​​a​​​ 和 ​​b​​​ 的范围均为 ,因此我们可以使用「双指针」在 范围进行扫描:

  • : 找到符合条件的​​​a​​​ 和​​b​​​,返回
  • : 当前值比目标值要小,​​​a++​
  • : 当前值比目标值要大,​​​b--​

代码:

class Solution {
public boolean judgeSquareSum(int c) {
int a = 0, b = (int)Math.sqrt(c);
while (a <= b) {
int cur = a * a + b * b;
if (cur == c) {
return true;
} else if (cur > c) {
b--;
} else {
a++;
}
}
return false;
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

费马平方和

费马平方和 : 奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 4 除余 1 。

翻译过来就是:当且仅当一个自然数的质因数分解中,满足 4k+3 形式的质数次方数均为偶数时,该自然数才能被表示为两个平方数之和。

因此我们对 ​​c​​​ 进行质因数分解,再判断满足 ​​4k+3​​ 形式的质因子的次方数是否均为偶数即可。

代码:

public class Solution {
public boolean judgeSquareSum(int c) {
for (int i = 2, cnt = 0; i * i <= c; i++, cnt = 0) {
while (c % i == 0 && ++cnt > 0) c /= i;
if (i % 4 == 3 && cnt % 2 != 0) return false;
}
return c % 4 != 3;
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

我猜你问

  • 三种解法复杂度都一样,哪个才是最优解呀?

前两套解法是需要「真正掌握」的,而「费马平方和」更多的是作为一种拓展。

你会发现从复杂度上来说,其实「费马平方和」并没有比前两种解法更好,但由于存在对 ​​c​​ 除质因数操作,导致「费马平方和」实际表现效果要优于同样复杂度的其他做法。但这仍然不成为我们必须掌握「费马平方和」的理由。

三者从复杂度上来说,都是 算法,不存在最不最优的问题。

  • 是否有关于「费马平方和」的证明呢?

想要看 莱昂哈德·欧拉 对于「费马平方和」的证明在 ​​这里​​,我这里直接引用 费马 本人的证明:


我确实发现了一个美妙的证明,但这里空白太小写不下。


  • 我就是要学「费马平方和」,有没有可读性更高的代码?

有的,在这里。喜欢的话可以考虑背过:

public class Solution {
public boolean judgeSquareSum(int c) {
for (int i = 2; i * i <= c; i++) {
int cnt = 0;
while (c % i == 0) {
cnt++;
c /= i;
}
if (i % 4 == 3 && cnt % 2 != 0) return false;
}
return c % 4 != 3;
}
}

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.633​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

举报

相关推荐

0 条评论