图的应用——关键路径算法

关键路径

如果要对一个流程图获得最短时间，就必须要分析它们的拓扑关系，并找到当中最关键的流程，这个流程的时间就是最短时间。

在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示时间，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity On Edge Network）。把AOE网中没有入边的顶点称之始点或源点，没有出边的顶点称为源点或汇点。由于一个工程，总有一个开始，一个结束，所以正常情况下AOE网只有一个源点一个汇点。如图所示。

既然AOE网是表示工程流程的，所以它就具有明显的工程的特性。如有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始。只有在进入某顶点的各活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能发生。

尽管AOE网与AOV网都是用来对工程建模的，但它们还是有很大的不同的，主要体现在AOV网是顶点表示活动的网，它只描述活动之间的制约关系，而AOE网是用边表示活动的网边上的权值表示活动持续的时间，如下图所示两图的对比。因此，AOE网是要建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上，再来分析完成整个工程至少需要多少时间，或者为缩短完成工程所需时间’应当加快哪些活动等问题。

路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点且有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。在上图中就是关键路径，路径好穿那个地为5.5。

1.1 关键路径算法原理

关键路径算法需要定义几个参数：

• 事件的最早发生时间etv（earliest time of vertex）：即顶点的最早发生时间。
• 事件的最晚发生时间ltv（latest time of vertex）：即顶点的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间会延误整个工期。
• 活动的最早开工时间ete（earliest time of edge）：即弧的最早发生时间。
• 活动的最晚开工时间lte（latest time of edge）：即弧的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。

由1和2可以求得3和4，再根据ete[k]是否与lte[k]相等来判断顶点是否是关键活动。

1.2 关键路径算法

将AOE网转化成邻接表结构如图所示，注意与拓扑排序的不同的地方在于，弧链表增加了weight域，用来存储弧的权值。

只有缩短关键路径上关键活动的时间才可以减少整个工期长度。

只需要找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径。如果不等，则就不是。

关键路径算法的全局变量：

int *etv,*ltv; /* 事件最早发生时间和最迟发生时间数组 */
int *stack2;   /* 用于存储拓扑序列的栈 */
int top2;     /* 用于stack2的指针 */

关键路径算法的改进拓扑序列算法：

/* 拓扑排序 */
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{    /* 若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回1，若有回路返回0。 */    
  EdgeNode *e;    
  int i,k,gettop;   
  int top=0;  /* 用于栈指针下标  */
  int count=0;/* 用于统计输出顶点的个数 */   
  int *stack;  /* 建栈将入度为0的顶点入栈  */   
  stack=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );    
  for(i = 0; i<GL->numVertexes; i++)                
    if(0 == GL->adjList[i].in) /* 将入度为0的顶点入栈 */           
      stack[++top]=i;    

  top2=0;    
  etv=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) ); /* 事件最早发生时间数组 */    
  for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
    etv[i]=0;    /* 初始化 */
  stack2=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );/* 初始化拓扑序列栈 */

  printf("TopologicalSort:\t");
  while(top!=0)    
  {        
    gettop=stack[top--];        
    printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);        
    count++;        /* 输出i号顶点，并计数 */ 

    stack2[++top2]=gettop;        /* 将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈 */

    for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)        
    {            
      k=e->adjvex;            
      if( !(--GL->adjList[k].in) )        /* 将i号顶点的邻接点的入度减1，如果减1后为0，则入栈 */                
        stack[++top]=k; 

      if((etv[gettop] + e->weight)>etv[k])    /* 求各顶点事件的最早发生时间etv值 */                
        etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
    }    
  }    
  printf("\n");   
  if(count < GL->numVertexes)        
    return ERROR;    
  else       
    return OK;
}

关键路径核心算法代码：

/* 求关键路径,GL为有向网，输出G的各项关键活动 */
void CriticalPath(GraphAdjList GL) 
{    
  EdgeNode *e;    
  int i,gettop,k,j;    
  int ete,lte;  /* 声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量 */        
  TopologicalSort(GL);   /* 求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值 */ 
  ltv=(int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));/* 事件最早发生时间数组 */   
  for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
    ltv[i]=etv[GL->numVertexes-1];    /* 初始化 */        
  
  printf("etv:\t");   
  for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
    printf("%d -> ",etv[i]);    
  printf("\n"); 

  while(top2!=0)    /* 出栈是求ltv */    
  {        
    gettop=stack2[top2--];        
    for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)        /* 求各顶点事件的最迟发生时间ltv值 */        
    {            
      k=e->adjvex;            
      if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])               
        ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;        
    }   
  }    
  
  printf("ltv:\t");   
  for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
    printf("%d -> ",ltv[i]);    
  printf("\n"); 

  for(j=0; j<GL->numVertexes; j++)        /* 求ete,lte和关键活动 */        
  {            
    for(e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next)            
    {                
      k=e->adjvex;                
      ete = etv[j];        /* 活动最早发生时间 */                
      lte = ltv[k] - e->weight; /* 活动最迟发生时间 */               
      if(ete == lte)    /* 两者相等即在关键路径上 */                    
        printf("<v%d - v%d> length: %d \n",GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);
    }        
  }
}