模型选择，过拟合和欠拟合

0. 环境介绍

环境使用 Kaggle 里免费建立的 Notebook

教程使用李沐老师的 动手学深度学习 网站和 视频讲解

小技巧：当遇到函数看不懂的时候可以按 Shift+Tab 查看函数详解。

1. 选择模型

1.1 训练误差和泛化误差

• 训练误差：模型在训练数据上的误差
• 泛化误差：模型在新数据集上的误差
• 例子：根据模拟考试成绩来预测未来考试成绩
  • 在过去的考试中表现很好（训练误差）不代表未来考试一定会好（泛化误差）。
  • 学生 A 通过背书在模拟考试中拿到很好成绩（过拟合）。
  • 学生 B 知道答案后面的原因。
  • 真实考试中学生 B 的成绩很大概率上要比 A 好。

1.2 验证数据集和测试数据集

• 验证数据集合：一个用来评估模型好坏的数据集
  • 例如拿出 50% 的训练数据
  • 不要跟训练数据混在一起（常犯错误）
• 测试数据集：只用一次的数据集，例如：
  • 未来的考试
  • 我出价的房子的实际成交价
  • 用在 kaggle 私有排行榜中的数据集

1.3 K-折交叉验证

• 在没有足够多数据时使用（这是常态）
• 算法：
  • 将训练数据分割成 $K$ 块
  • $for$ $i=1,...,K$
    • 使用第 $i$ 块作为验证数据集，其余的作为训练数据集
  • 报告 $K$ 个验证集误差的平均
• 常用 $K=5$ 或 $10$、

2. 过拟合和欠拟合

2.1 模型容量

• 拟合各种函数的能力
• 低容量的模型难以拟合训练数据
  
• 高容量的模型可以记住所有的训练数据
  

模型容量的影响：

2.2 估计模型容量

• 难以在不同种类算法之间比较
  • 例如树模型和神经网络
• 给定一个模型种类，将有两个主要因素
  • 参数的个数
  • 参数值的选择范围

2.3 $VC$ 维

• 统计学习理论的一个核心思想
• 对于一个分类模型，$VC$ 等于一个最大数据集的大小，不管如何给定标号（label），都存在一个模型来对它进行完美分类。

线性分类器的 $VC$ 维：

• $2$ 维输入的感知机，$VC维=3$
  • 能够分类任何 $3$ 个点，但不是 $4$ 个。
• 支持 $N$ 维输入的感知机的 $VC$ 维是 $N+1$
• 一些多层感知机的 VC 维 $O(N{\log }_{2}N)$

2.4 数据复杂度

• 多个重要因素
  • 样本个数
  • 每个样本的元素个数
  • 时间、空间结构
  • 多样性

3. 通过多项式拟合来交互探索上述概念

3.0 导入模块

# !pip install -U d2l
import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

3.1 生成数据集

给定 $x$，我们将使用以下三阶多项式来生成训练和测试数据的标签：
$$y=5+1.2x-3.4\frac{x^2}{2!}+5.6\frac{x^3}{3!}+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.1^2).$$

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))

for i in range(max_degree):
    # 避免过大的梯度值或损失值
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
# 噪音
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

将 numpy array 转换为 tensor：

true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

从生成的数据集中查看一下前 2 个样本， 第一个值是与偏置相对应的常量特征。

3.2 定义模型

3.2.1 定义计算损失

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

最后输出结果是平均损失。

3.2.2 定义训练函数

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    # 均方差损失函数
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    # train_features.shape 为 (400，20)
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

3.3 三阶多项式函数拟合（正常）

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

3.3 线性函数拟合（欠拟合）

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

3.4 高阶多项式函数拟合（过拟合）

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

4. 小结