数据结构与算法学习笔记十三--图

1. 图的基本介绍

为什么要有图？(^ V ^?)
因为

1. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
2. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
3. 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。

1.1 图的举例说明

图是一种数据结构，其中节点可以具有零个或多个相邻元素。两个节点之间的连接称为边。

1.2 图的常用概念

1. 顶点（vertex）
2. 边（edge）
3. 路径
4. 无向图（下图）
   
5. 有向图（下图）
   
6. 带权图（下图）
   

1.3 图的表示方法

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻阶表）。
1. 领接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col表示的是1.。。n个点。

2. 邻接表

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在，会造成空间的一定损失。
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组 + 链表组成。
   

2. 图的深度优先遍历介绍

2.1 图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对节点的访问。一个图有那么多个节点，如何遍历这些节点，需要特定策略，一般有两种访问策略：1. 深度优先遍历 2. 广度优先遍历

2.2 图的深度优先搜索（Depth First Search）

2.2.1 深度优先遍历算法步骤

1. 访问初始节点v，并标记节点v为已访问。
2. 查找节点v的第一个邻接节点w。
3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个节点继续。
4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个v，然后进行步骤123）.
5. 查找节点v的w邻接节点的下一个邻接节点，转到步骤3.

3. 图的广度优先遍历

3.1 广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索（Broad First Search）
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的节点的顺序，以便按这个顺序来访问这些节点的邻接节点。

3.2 广度优先遍历算法步骤

1. 访问初始节点v并标记节点v为已访问
2. 节点v入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束
4. 出队列，取出队头节点u。
5. 查找节点u的第一个邻接节点w。
6. 若节点u的邻接节点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
   6.1） 若节点w尚未被访问，则访问节点w并标记为已访问。
   6.2） 节点w入队列
   6.3） 查找节点u的继w邻接节点后的下一个邻接节点w，转到步骤6。

4. 图的深度优先 vs 图的广度优先

5. 深度优先和广度优先的代码实现

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的数目
    // 定义数组boolean[],记录某个节点是否被访问
    private boolean[] isVisited = new boolean[5];

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;//节点的个数
        String VertexValue[] = {"A","B","C","D","E"};
        // 创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        // 循环的添加顶点
        for(String vertex: VertexValue) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        // 添加边
        // A-B B-C A-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        
        // 显示一把邻接矩阵
        graph.showGraph();

        // 测试一把，我们的dfs遍历是否ok
        // System.out.println("深度优先");
        // graph.dfs();

        System.out.println("广度优先");
        graph.bfs();
    }

    // 构造器
    public Graph(int n) {
        // 初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }
    // 图中常用的方法
    // 返回节点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    // 显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for(int[] link : edges) {
            System.err.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
    // 得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }
    // 返回节点i(下标)对应的数据 0-> "A" 1-> "B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }
    // 返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    // 插入节点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }
    /**
     * 
     * @param v1 表示点的下标即是第几个顶点
     * @param v2 
     * @param weight 表示边上的权重
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }

    // 1. 访问初始节点v，并标记节点v为已访问。
    // 2. 查找节点v的第一个邻接节点w。
    // 3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个节点继续。
    // 4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个v，然后进行步骤123）.
    // 5. 查找节点v的w邻接节点的下一个邻接节点，转到步骤3.

    
    /**
     * 得到第一个邻接节点的下标w
     * @param index
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if(edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
    // 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
    
    // 深度优先遍历算法
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        // 首先，我们访问该节点，输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        // 将节点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找节点i的第一个邻接节点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while(w != -1) {// 说明找到
            // 同时该节点不是已访问节点
            if(!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited,w);
            }
            // 如果w节点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    // 对dfs 进行一个重载，遍历我们所有的节点，并进行 dfs
    public void dfs() {
        // 遍历所有的节点，进行dfs【回溯】
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    // 对一个节点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u;//表示队列的头节点对应的下标
        int w;//邻接节点w
        // 队列，记录节点访问顺序
        LinkedList queue = new LinkedList<>();
        // 访问节点，输出节点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        // 标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        // 将节点加入队列
        queue.addLast(i);

        while(!queue.isEmpty()) {
            // 取出队列的头节点下标
            u = (Integer)queue.removeFirst();
            // 得到第一个邻接节点的下标w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while(w != -1) {
                // 是否访问过
                if(!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    // 标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    // 入队
                    queue.addLast(w);
                }
                // 以u为前驱点，找到w的后面的下一个邻节点
                w = getNextNeighbor(u, w);
            }
        }

    }

    // 遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited,i);
            }
        }
    }
}