数据结构：树

树

• 1. 树的基本概念
• • 1.1 节点与边
  • 1.2 根节点、父节点、子节点
  • 1.3 叶节点和内部节点
  • 1.4 子树、路径、深度与高度
• 2. 树的性质
• 3. 树的类型
• • 3.1 二叉树（Binary Tree）
  • 3.2 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）
  • 3.3 AVL树和红黑树
  • 3.4 B树和B+树
• 4. 树的遍历方法
• • 4.1 深度优先遍历
  • 4.2 广度优先遍历
• 5. 树的常见操作
• • 5.1 插入
  • 5.2 删除
  • 5.3 查找
• 6. 树的应用场景
• 7.树操作的时间复杂度
• 8.更复杂的树结构
• 9. 示例：二叉搜索树的插入和查找

1. 树的基本概念

1.1 节点与边

• 节点（Node）：树中的每个元素称为节点，节点存储数据和指向其他节点的链接。
• 边（Edge）：连接两个节点的线条，表示节点之间的关系。树中的节点是通过边相连的。

1.2 根节点、父节点、子节点

• 根节点（Root）：树的起始节点，树中唯一没有父节点的节点。它是所有其他节点的祖先。
• 父节点（Parent）：如果一个节点连接到另一个节点，则前者是后者的父节点。
• 子节点（Child）：如果一个节点连接到另一个节点，则后者是前者的子节点。

1.3 叶节点和内部节点

• 叶节点（Leaf）：没有子节点的节点，通常位于树的最底层，类似于树的“末梢”。
• 内部节点（Internal Node）：有子节点的节点，不是叶节点。

1.4 子树、路径、深度与高度

• 子树（Subtree）：树中的每个节点连同它的子节点构成一个子树。
• 路径（Path）：从一个节点到另一个节点之间的边的序列。
• 深度（Depth）：节点的深度是从根节点到该节点所经过的边数。根节点的深度为0。
• 高度（Height）：节点的高度是从该节点到其最远叶节点的最长路径。叶节点的高度为0。

2. 树的性质

树的定义和性质决定了它的特殊性：

1. 树中不存在环（即不能回到同一个节点），它是一种无环图结构。
2. n个节点的树有(n-1)条边。这意味着在没有多余链接的情况下，树是最简化的连接结构。

3. 树的类型

3.1 二叉树（Binary Tree）

二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树。它有许多变种和应用，最常见的几种如下：

• 满二叉树：所有非叶节点都有两个子节点，并且所有叶节点都位于同一层。
• 完全二叉树：除了最后一层外，其他层的所有节点都是满的，最后一层的节点必须从左到右依次排列。
• 平衡二叉树：左右子树的高度差不超过1，目的是保证查找、插入和删除的效率。

3.2 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）

• 二叉搜索树是一种特殊的二叉树，满足：左子树中的所有节点值小于根节点，右子树中的所有节点值大于根节点。这使得它可以高效地进行查找、插入和删除操作。

3.3 AVL树和红黑树

• AVL树：一种自平衡的二叉搜索树，任何节点的两个子树的高度差最多为1。当插入或删除节点后，AVL树会通过旋转来保持平衡。
• 红黑树：一种二叉搜索树，增加了节点的颜色（红或黑）作为附加信息，用来保持树的大致平衡。红黑树在插入和删除时的自平衡机制相较于AVL树更为灵活。

3.4 B树和B+树

• B树：一种广泛应用于数据库和文件系统的多叉树。B树能够保持数据的有序性，并支持多级查找。与二叉树不同，B树的节点可以拥有多个子节点。
• B+树：B树的变种，所有的数据都存储在叶节点中，非叶节点只存储索引信息。B+树比B树在范围查询上更加高效。

4. 树的遍历方法

树的遍历是指按一定顺序访问树中的所有节点。常见的遍历方法包括：

4.1 深度优先遍历

深度优先遍历是沿着树的分支尽可能深地走下去，直到无法再继续为止，然后回溯再处理其他分支。深度优先遍历有三种主要方式：

• 前序遍历（Pre-order）：先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。用于复制树结构。
  • 例子：对于一棵树 1 -> 2 -> 4, 5 -> 3，前序遍历顺序为：1, 2, 4, 5, 3。
• 中序遍历（In-order）：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树。常用于二叉搜索树的排序输出。
  • 例子：对于上述树，中序遍历顺序为：4, 2, 5, 1, 3。
• 后序遍历（Post-order）：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。用于删除树。
  • 例子：上述树的后序遍历顺序为：4, 5, 2, 3, 1。

4.2 广度优先遍历

• 层序遍历（Level-order）：按层级访问树，先访问根节点，再访问下一层的所有节点，依次类推。层序遍历可以通过队列实现。

5. 树的常见操作

5.1 插入

插入节点时，通常需要遵守特定规则。例如，在二叉搜索树中，需要找到一个合适的位置插入新节点，使得左子节点小于父节点，右子节点大于父节点。

5.2 删除

删除操作比插入更复杂，特别是在二叉搜索树中，需要考虑以下几种情况：

1. 删除叶节点：直接删除即可。
2. 删除有一个子节点的节点：将其父节点的子节点指向它的唯一子节点。
3. 删除有两个子节点的节点：找到其后继节点或前驱节点替代它的位置。

5.3 查找

在二叉搜索树中，查找一个元素是通过比较元素值来决定下一步是进入左子树还是右子树，直到找到目标节点或搜索失败。

6. 树的应用场景

1. 文件系统：操作系统的文件和目录结构就是树的一个典型例子，目录是树的分支，文件是树的叶子节点。
2. 表达式解析：编译器使用树结构来解析和表示表达式，例如算术表达式可以用二叉表达式树来表示。
3. 数据库索引：B树和B+树常用于数据库的索引系统，可以快速地定位数据。
4. 路由算法：网络协议使用树结构来计算最佳路径，例如Dijkstra算法生成的最短路径树。

7.树操作的时间复杂度

• 查找：在二叉搜索树中，平均查找时间复杂度为 O(logn)，最坏情况是 O(n)（树退化为链表）。
• 插入：平均为 O(logn)，最坏情况为 O(n)。
• 删除：平均为 O(logn)，最坏情况为 O(n)。

8.更复杂的树结构

有时，应用场景会要求使用更加复杂的树结构，如：

堆（Heap）：一种特殊的完全二叉树，通常用于实现优先队列。最大堆中每个节点的值大于或等于其子节点，最小堆则相反。

9. 示例：二叉搜索树的插入和查找

假设我们有一个空的二叉搜索树，现在依次插入：50, 30, 70, 20, 40, 60。

1. 插入50：树为空，50作为根节点。

       50
   

2. 插入30：30小于50，放在50的左子节点。

       50
      /
     30
   

3. 插入70：70大于50，放在50的右子节点。

       50
      /  \
     30   70
   

4. 插入20：20小于50，也小于30，放在30的左子节点。

       50
      /  \
     30   70
    /
   20
   

5. 插入40：40小于50，大于30，放在30的右子节点。

       50
      /  \
     30   70
    /  \
   20   40
   

6. 插入60：60大于50，小于70，放在70的左子节点。

       50
      /  \
     30   70
    /  \  /
   20   40 60