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POJ 3111 K Best &&NYOJ 914 (二分+ 贪心,最大化平均值)


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题意:(最大化平均值,挑战编程P143)

有n个物品的重量和价值分别是w[i]和v[i],从中选出K个物品使得单位重量的价值最大。(1<=k<=n<=10^41<=w[i],v[i]<=10^6)

一般想到的是按单位价值对物品排序,然后贪心选取,但是这个方法是错误的,比如对nyoj的例题来说,从大到小地进行选取,输入的结果是5/7=0.714对于有样例不满足。我们一般用二分搜索来做(其实这就是一个01分数规划)

我们定义:

条件 C(x) :=可以选k个物品使得单位重量的价值不小于x。

因此原问题转换成了求解满足条件C(x)的最大x。那么怎么判断C(x)是否满足?

变形:(sigma(v[i])/sigma(w[i]))>=x (i 属于我们选择的某个物品集合S)

进一步:sigma(v[i]-x*w[i])>=0

于是:条件满足等价于选最大的k个和不小于0.于是排序贪心选择可以判断,每次判断的复杂度是O(nlogn)。

参考代码:

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =1000011;
const int eps =1e-6;
int n,k,i,j,wi[maxn],vi[maxn];
double y[maxn]; //vi-x*wi
bool cmp(double x) //判断是否满足条件
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
y[i]=vi[i]-x*wi[i];
}
sort(y,y+n);
double sum=0;
for(int i=0; i<k; i++) //从大到小前k个数的和
{
sum+=y[n-i-1];
}
return sum>=0;
}
void solve()
{
double left=0,right=maxn;//right的值其实可以传vi[i]/wi[i]的最大值,时间更少
for(int i=0; i<100; i++)
{
double mid=(left+right)/2;
if(cmp(mid)) left=mid;
else right=mid;
}
// while(right-left>eps) //这种写法更精确
// {
// double mid=(right+left)/2;
// if(cmp(mid)) left=mid;
// else right=mid;
// }
printf("%.2f\n",right);
}
int main()
{
// freopen("1.txt","r",stdin);
//freopen("2.txt","w",stdout);
while(~scanf("%d%d",&n,&k))
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
}
solve();
}
return 0;
}


poj3111:一样的思路,只是求满足条件的物品编号,这里用一个结构体,定义一个标识。

参考代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =100001;
int n,k,i,j,wi[maxn],vi[maxn],ans[maxn];
struct str
{
double t;
int post;
bool operator<(const str& post)const//重载运算符
{
return t>post.t;
}
} y[maxn];
bool cmp(double x)//注意类型是浮点型,整形会传参出错
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
y[i].t=vi[i]-x*wi[i];
y[i].post=i;
}
sort(y,y+n);
double sum=0;
for(int i=0; i<k; i++)//从大到小取出前k个元素
{
sum+=y[i].t;
ans[i]=y[i].post;
}
return sum>=0;
}
int main()
{
// freopen("1.txt","r",stdin);
//freopen("2.txt","w",stdout);
while(~scanf("%d%d",&n,&k))
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
scanf("%d%d",&vi[i],&wi[i]);
}
double l=0, r=maxn;
while(r-l>1e-6)
{
double mid = (l+r)/2;
if(cmp(mid)) l = mid;
else r = mid;
}
for(int i=0; i<k; i++)
if(i!=k-1)
printf("%d ",ans[i]+1);
else printf("%d\n",ans[i]+1);
}
return 0;
}



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